Question

Una bolsa contiene dos cuentas rojas y dos cuentas verdes. Metes la mano en la bolsa y sacas una cuenta, reemplazándola por una cuenta roja sin importar el color que hayas sacado. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las cuentas de la bolsa sean rojas después de tres reemplazos de este tipo?

A bag contains two red beads and two green beads. You reach into the bag and pull out a bead, replacing it with a red bead regardless of the color you pulled out. What is the probability that all beads in the bag are red after three such replacements?

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{5}{32}$

$\dfrac{9}{32}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{7}{16}$

Solución:

La bolsa siempre contiene $4$ cuentas. Todas son rojas al final precisamente cuando ambas verdes se sacan.

Sacar verde y luego verde tiene probabilidad $\dfrac24 \cdot \dfrac14 = \dfrac18.$ Verde, roja, verde tiene probabilidad $\dfrac24 \cdot \dfrac34 \cdot \dfrac14 = \dfrac{3}{32}.$ Roja, verde, verde tiene probabilidad $\dfrac24 \cdot \dfrac24 \cdot \dfrac14 = \dfrac{1}{16}.$

El total es $\dfrac18 + \dfrac{3}{32} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{9}{32}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The bag always holds $4$ beads. All are red at the end precisely when both greens are drawn.

Drawing green then green has probability $\dfrac24 \cdot \dfrac14 = \dfrac18.$ Green, red, green has probability $\dfrac24 \cdot \dfrac34 \cdot \dfrac14 = \dfrac{3}{32}.$ Red, green, green has probability $\dfrac24 \cdot \dfrac24 \cdot \dfrac14 = \dfrac{1}{16}.$

The total is $\dfrac18 + \dfrac{3}{32} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{9}{32}.$

Thus, the correct answer is C.

2003 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años