Question

Muchas catedrales góticas tienen ventanas con partes que contienen un anillo de círculos congruentes circunscritos por un círculo mayor. En la figura mostrada, el número de círculos menores es cuatro. ¿Cuál es la razón entre la suma de las áreas de los cuatro círculos menores y el área del círculo mayor?

Many Gothic cathedrals have windows with portions containing a ring of congruent circles that are circumscribed by a larger circle. In the figure shown, the number of smaller circles is four. What is the ratio of the sum of the areas of the four smaller circles to the area of the larger circle?

$3 - 2\sqrt{2}$

$2 - \sqrt{2}$

$4(3 - 2\sqrt{2})$

$\dfrac{1}{2}(3 - \sqrt{2})$

$2\sqrt{2} - 2$

Solución:

Sea el radio de cada círculo pequeño $1.$ Sus centros forman un cuadrado de lado $2,$ cuya diagonal es $2\sqrt2$ .

El diámetro del círculo grande es $2 + 2\sqrt2,$ así que su radio es $1 + \sqrt2$ .

La razón buscada es $\begin{aligned} \dfrac{4 \cdot \pi (1)^2}{\pi (1 + \sqrt2)^2} &= \dfrac{4}{3 + 2\sqrt2} \\ &= 4(3 - 2\sqrt2). \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es C.

Let each small circle have radius $1.$ Their centers form a square of side $2,$ whose diagonal is $2\sqrt2.$

The large circle's diameter is $2 + 2\sqrt2,$ so its radius is $1 + \sqrt2.$

The desired ratio is $\begin{aligned} \dfrac{4 \cdot \pi (1)^2}{\pi (1 + \sqrt2)^2} &= \dfrac{4}{3 + 2\sqrt2} \\ &= 4(3 - 2\sqrt2). \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 10A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años