Question

¿Cuál es el residuo de dividir $3^0+3^1+3^2+\cdots+3^{2009}$ entre $8$ ?

What is the remainder when $3^0+3^1+3^2+\cdots+3^{2009}$ is divided by $8?$

$0$

$1$

$2$

$4$

$6$

$3^0+3^1+3^2+3^3=40$ es un múltiplo de $8$ .

$3^0+3^1+3^2+3^3=40$ is a multiple of $8$

Agrupa los $2010$ términos en bloques de cuatro y trata los términos restantes.

Group the $2010$ terms into blocks of four and handle the leftover

Cuatro potencias consecutivas cualesquiera de $3$ suman un múltiplo de $3^0+3^1+3^2+3^3=40,$ que es divisible por $8.$

Los términos desde $3^2$ hasta $3^{2009}$ se dividen en tales bloques y contribuyen con residuo $0.$ Lo que queda es $3^0+3^1=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Any four consecutive powers of $3$ sum to a multiple of $3^0+3^1+3^2+3^3=40,$ which is divisible by $8.$

The terms from $3^2$ to $3^{2009}$ split into such blocks and contribute remainder $0.$ What remains is $3^0+3^1=4.$

Thus, the correct answer is D.