Question

Existe un único polinomio $P(x)$ de menor grado con coeficiente principal $1$ que cumple todo lo siguiente:

$1$ es raíz de $P(x) - 1,$ $2$ es raíz de $P(x - 2),$ $3$ es raíz de $P(3x),$ y $4$ es raíz de $4P(x).$

Todas las raíces de $P(x)$ excepto una son enteras. Si la única raíz no entera puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, ¿cuánto vale $m + n$ ?

There is a unique polynomial $P(x)$ of least degree with leading coefficient $1$ satisfying all of the following:

$1$ is a root of $P(x) - 1,$ $2$ is a root of $P(x - 2),$ $3$ is a root of $P(3x),$ and $4$ is a root of $4P(x).$

All the roots of $P(x)$ except one are integers. If the one non-integer root can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, what is $m + n?$

$41$

$43$

$45$

$47$

$49$

Solución:

Traduce cada condición en un valor: $P(1) = 1,$ $P(0) = 0,$ $P(9) = 0,$ y $P(4) = 0.$ Así que $0, 4, 9$ son raíces. ¿Podría bastar un cúbico? Un cúbico mónico con esas raíces tiene $P(1) = (1)(-3)(-8) = 24 \ne 1,$ así que no. El polinomio mónico de menor grado es de grado $4:$ $P(x) = x(x - 4)(x - 9)(x - c).$ Ahora $P(1) = (1)(-3)(-8)(1 - c)$ $= 24(1 - c)$ $= 1,$ así que $1 - c = \frac{1}{24}$ y $c = \frac{23}{24}.$ Esa es la única raíz no entera, así que $m + n = 23 + 24 = 47.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Translate each condition into a value: $P(1) = 1,$ $P(0) = 0,$ $P(9) = 0,$ and $P(4) = 0.$ So $0, 4, 9$ are roots. Could a cubic do it? A monic cubic with those roots has $P(1) = (1)(-3)(-8) = 24 \ne 1,$ so no. The least-degree monic polynomial is degree $4:$ $P(x) = x(x - 4)(x - 9)(x - c).$ Now $P(1) = (1)(-3)(-8)(1 - c)$ $= 24(1 - c)$ $= 1,$ so $1 - c = \frac{1}{24}$ and $c = \frac{23}{24}.$ That's the lone non-integer root, so $m + n = 23 + 24 = 47.$ Thus, D is the correct answer.

2023 AMC 10A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años