Question

Un cubo con lado $1$ es cortado por un plano que pasa por dos vértices diagonalmente opuestos $A$ y $C$ y por los puntos medios $B$ y $D$ de dos aristas opuestas que no contienen a $A$ ni a $C,$ como se muestra. ¿Cuál es el área del cuadrilátero $ABCD$ ?

A cube with side length $1$ is sliced by a plane that passes through two diagonally opposite vertices $A$ and $C$ and the midpoints $B$ and $D$ of two opposite edges not containing $A$ or $C,$ as shown. What is the area of quadrilateral $ABCD?$

$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

$\dfrac{5}{4}$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$\sqrt{3}$

Solución:

Cada lado de $ABCD$ une un vértice del cubo con el punto medio de una arista, así que los cuatro lados son iguales y $ABCD$ es un rombo.

Sus diagonales son la diagonal espacial $AC = \sqrt{3}$ y la diagonal de cara $BD = \sqrt{2}.$

El área de un rombo es la mitad del producto de sus diagonales: $\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

Así, la respuesta correcta es A.

Each side of $ABCD$ joins a vertex of the cube to the midpoint of an edge, so all four sides are equal and $ABCD$ is a rhombus.

Its diagonals are the space diagonal $AC = \sqrt{3}$ and the face diagonal $BD = \sqrt{2}.$

The area of a rhombus is half the product of its diagonals: $\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

2008 AMC 10A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años