Question

El $\triangle ABC$ rectángulo tiene $AB=3,$ $BC=4,$ y $AC=5.$ El cuadrado $XYZW$ está inscrito en $\triangle ABC$ con $X$ y $Y$ en $\overline{AC},$ $W$ en $\overline{AB},$ y $Z$ en $\overline{BC}.$ ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?

Right $\triangle ABC$ has $AB=3,$ $BC=4,$ and $AC=5.$ Square $XYZW$ is inscribed in $\triangle ABC$ with $X$ and $Y$ on $\overline{AC},$ $W$ on $\overline{AB},$ and $Z$ on $\overline{BC}.$ What is the side length of the square?

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{60}{37}$

$\dfrac{12}{7}$

$\dfrac{23}{13}$

$2$

Solución:

Sea $s$ el lado del cuadrado y $h$ la altura desde $B$ hasta $AC.$ Entonces $h=\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=\dfrac{3\cdot 4}{5}=\dfrac{12}{5}.$

El triángulo pequeño encima del cuadrado es semejante a $\triangle ABC$ con el lado superior del cuadrado como base, lo que da $\dfrac{h-s}{h}=\dfrac{s}{AC},$ así que $s=\dfrac{AC\cdot h}{AC+h}.$

Sustituyendo, $s=\dfrac{5\cdot\frac{12}{5}}{5+\frac{12}{5}}=\dfrac{12}{37/5}=\dfrac{60}{37}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $s$ be the side of the square and $h$ the altitude from $B$ to $AC.$ Then $h=\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=\dfrac{3\cdot 4}{5}=\dfrac{12}{5}.$

The small triangle above the square is similar to $\triangle ABC$ with the square's top side as its base, giving $\dfrac{h-s}{h}=\dfrac{s}{AC},$ so $s=\dfrac{AC\cdot h}{AC+h}.$

Substituting, $s=\dfrac{5\cdot\frac{12}{5}}{5+\frac{12}{5}}=\dfrac{12}{37/5}=\dfrac{60}{37}.$

Thus, the correct answer is B.

2007 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años