Question

\triangle ABC

es rectángulo y tiene

AB=3,

BC=4,

y

AC=5.

El cuadrado

XYZW

está inscrito en

\triangle ABC

con

X

y

Y

en

\overline{AC},

W

en

\overline{AB},

y

Z

en

\overline{BC}.

¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?

Right

\triangle ABC

has

AB=3,

BC=4,

and

AC=5.

Square

XYZW

is inscribed in

\triangle ABC

with

X

and

Y

on

\overline{AC},

W

on

\overline{AB},

and

Z

on

\overline{BC}.

What is the side length of the square?

\dfrac{3}{2}

\dfrac{60}{37}

\dfrac{12}{7}

\dfrac{23}{13}

2

Respuesta: B

Conceptos:semejanza triángulo rectángulo altura

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Halla la altura desde

B

hasta la hipotenusa

AC

.

Find the altitude from

B

to the hypotenuse

AC

Pista grande:

Usa la semejanza entre el triángulo completo y el triángulo pequeño situado encima del cuadrado.

Use the similarity between the whole triangle and the small triangle above the square

Solución:

Sea

s

el lado del cuadrado y

h

la altura desde

B

hasta

AC.

Entonces

h=\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=\dfrac{3\cdot 4}{5}=\dfrac{12}{5}.

El triángulo pequeño encima del cuadrado es semejante a

\triangle ABC

con el lado superior del cuadrado como base, lo que da

\dfrac{h-s}{h}=\dfrac{s}{AC},

así que

s=\dfrac{AC\cdot h}{AC+h}.

Sustituyendo,

s=\dfrac{5\cdot\frac{12}{5}}{5+\frac{12}{5}}=\dfrac{12}{\frac{37}{5}}=\dfrac{60}{37}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

s

be the side of the square and

h

the altitude from

B

to

AC.

Then

h=\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=\dfrac{3\cdot 4}{5}=\dfrac{12}{5}.

The small triangle above the square is similar to

\triangle ABC

with the square’s top side as its base, giving

\dfrac{h-s}{h}=\dfrac{s}{AC},

so

s=\dfrac{AC\cdot h}{AC+h}.

Substituting,

s=\dfrac{5\cdot\frac{12}{5}}{5+\frac{12}{5}}=\dfrac{12}{\frac{37}{5}}=\dfrac{60}{37}.

Thus, the correct answer is B.

2007 AMC 10B Problema 21

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años