Question

El polinomio $x^3-ax^2+bx-2010$ tiene tres raíces enteras positivas. ¿Cuál es el menor valor posible de $a$ ?

The polynomial $x^3-ax^2+bx-2010$ has three positive integer roots. What is the smallest possible value of $a?$

$78$

$88$

$98$

$108$

$118$

Solución:

Sean las raíces enteros positivos $r\le s\le t.$ Por las fórmulas de Vieta, $rst=2010$ y $a=r+s+t.$

Como $2010=2\cdot3\cdot5\cdot67,$ una raíz debe ser divisible entre $67.$ Si esa raíz es mayor que $67,$ entonces es al menos $134,$ lo cual ya es peor que la construcción de abajo.

Así que toma $t=67$ y minimiza $r+s$ con $rs=30.$ El par de factores con menor suma es $5$ y $6,$ así que $a=5+6+67=78.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let the roots be positive integers $r\le s\le t.$ By Vieta's formulas, $rst=2010$ and $a=r+s+t.$

Since $2010=2\cdot3\cdot5\cdot67,$ one root must be divisible by $67.$ If that root is larger than $67,$ then it is at least $134,$ which is already worse than the construction below.

Thus take $t=67$ and minimize $r+s$ with $rs=30.$ The factor pair with smallest sum is $5$ and $6,$ so $a=5+6+67=78.$

Thus, A is the correct answer.

2010 AMC 10A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años