Question

Cada una de $20$ bolas se arroja de manera independiente y al azar en uno de los $5$ recipientes. Sea $p$ la probabilidad de que algún recipiente termine con $3$ bolas, otro con $5$ bolas, y los otros tres con $4$ bolas cada uno. Sea $q$ la probabilidad de que cada recipiente termine con $4$ bolas. ¿Cuánto vale $\dfrac{p}{q}$ ?

Each of $20$ balls is tossed independently and at random into one of the $5$ bins. Let $p$ be the probability that some bin ends up with $3$ balls, another with $5$ balls, and the other three with $4$ balls each. Let $q$ be the probability that every bin ends up with $4$ balls. What is $\dfrac{p}{q}?$

$1$

$4$

$8$

$12$

$16$

Solución:

Por simplicidad, podemos suponer que tanto las bolas como los recipientes son distinguibles.

Como cada caso incluye tener $4$ bolas en $3$ recipientes, podemos dejarlos fuera durante nuestro cálculo.

Para $p,$ hay $5$ opciones para el recipiente con $3$ bolas y luego $4$ opciones para el recipiente con $5$ bolas. Finalmente, hay $\binom{8}{3} = 56$ maneras de elegir qué bolas van en los recipientes.

Para $q,$ después de cancelar $3$ de los $4$ , hay $\binom{8}{4} = 70$ maneras de asegurar que $4$ bolas vayan en cada uno de los recipientes restantes.

Como el número total de distribuciones es el mismo para $p$ y $q,$ podemos tomar $\dfrac{p}{q}$ como el cociente de los numeradores. Por lo tanto, $\dfrac{p}{q} = \dfrac{20 \cdot 56}{70} = 16.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

For the sake of simplicity, we can assume the balls and bins are both distinguishable.

Since each case includes having $4$ balls in $3$ bins, we can leave those out during our calculation.

For $p,$ there are $5$ choices for the bin with $3$ balls and then $4$ choices for the bin with $5$ balls. Finally, there are $\binom{8}{3} = 56$ ways to choose which balls go in the bins.

For $q,$ after cancelling out $3$ of the $4$ s, there are $\binom{8}{4} = 70$ ways to ensure $4$ balls go in each of the remaining bins.

Since the total number of distributions is the same for both $p$ and $q,$ we can let $\dfrac{p}{q}$ be the ratio of the numerators. Therefore, $\dfrac{p}{q} = \dfrac{20 \cdot 56}{70} = 16.$

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años