Question

Cada una de $2023$ bolas se coloca en una de $3$ cajas. ¿Cuál de las siguientes opciones está más cerca de la probabilidad de que cada una de las cajas contenga un número impar de bolas?

Each of $2023$ balls is placed into one of $3$ bins. Which of the following is closest to the probability that each of the bins will contain an odd number of balls?

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{4}$

Solución:

Las $3^{2023}$ asignaciones son igualmente probables. Un filtro de signos cuenta las que tienen cada caja impar: $\frac{1}{8}\sum_{s \in \{\pm 1\}^3}(s_1 s_2 s_3)$ $\cdot (s_1 + s_2 + s_3)^{2023}$ . Para $s = (1,1,1)$ y $s = (-1,-1,-1)$ , ambos términos valen $3^{2023}$ . Para cada otra elección de signos, la suma entre paréntesis es $1$ o $-1$ , y el término completo vale $-1$ , así que estos seis términos suman $-6$ . Por lo tanto el conteo es $\frac{2 \cdot 3^{2023} - 6}{8} = \frac{3^{2023} - 3}{4}$ . Al dividir, la probabilidad es $\frac{3^{2023} - 3}{4 \cdot 3^{2023}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \cdot 3^{2022}}$ , apenas por debajo de $\frac{1}{4}$ . Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

All $3^{2023}$ assignments are equally likely. A sign filter counts the ones with every bin odd: $\frac{1}{8}\sum_{s \in \{\pm 1\}^3}(s_1 s_2 s_3)$ $\cdot (s_1 + s_2 + s_3)^{2023}$ . For $s = (1,1,1)$ and $s = (-1,-1,-1)$ , both terms equal $3^{2023}$ . For each other sign choice, the sum in parentheses is $1$ or $-1$ , and the full term equals $-1$ , so these six terms total $-6$ . Thus the count is $\frac{2 \cdot 3^{2023} - 6}{8} = \frac{3^{2023} - 3}{4}$ . Dividing, the probability is $\frac{3^{2023} - 3}{4 \cdot 3^{2023}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \cdot 3^{2022}}$ , a hair under $\frac{1}{4}$ . Thus, E is the correct answer.

2023 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años