Question

Cada una de $2023$ bolas se coloca al azar en una de $3$ cajas. ¿Cuál de las siguientes opciones está más cerca de la probabilidad de que cada una de las cajas contenga un número impar de bolas?

Each of $2023$ balls is randomly placed into one of $3$ bins. Which of the following is closest to the probability that each of the bins will contain an odd number of balls?

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{4}$

Respuesta: E

Conceptos:raíces de la unidad paridad probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Codifica “conteo impar” en cada caja con un filtro de signos $\pm 1$ , reemplazando la imparidad por $\frac{1 - (-1)^k}{2}$ .

Encode “odd count” in each bin with a $\pm 1$ sign filter, replacing oddness by $\frac{1 - (-1)^k}{2}$

Pista grande:

Esto da $\frac{1}{8}\sum_{s \in \{\pm 1\}^3}(s_1 s_2 s_3)$ $\cdot (s_1 + s_2 + s_3)^{2023};$ solo $(1,1,1)$ y $(-1,-1,-1)$ dan términos grandes.

This gives $\frac{1}{8}\sum_{s \in \{\pm 1\}^3}(s_1 s_2 s_3)$ $\cdot (s_1 + s_2 + s_3)^{2023};$ only $(1,1,1)$ and $(-1,-1,-1)$ give large terms

Solución:

Las $3^{2023}$ asignaciones son igualmente probables. Un filtro de signos cuenta las que tienen cada caja impar: $\frac{1}{8}\sum_{s \in \{\pm 1\}^3}(s_1 s_2 s_3)$ $\cdot (s_1 + s_2 + s_3)^{2023}.$ Para $s = (1,1,1)$ y $s = (-1,-1,-1),$ ambos términos valen $3^{2023}.$ Para cada otra elección de signos, la suma entre paréntesis es $1$ o $-1,$ y el término completo vale $-1,$ así que estos seis términos suman $-6.$ Por lo tanto el conteo es $\frac{2 \cdot 3^{2023} - 6}{8} = \frac{3^{2023} - 3}{4}.$ Al dividir, la probabilidad es $\frac{3^{2023} - 3}{4 \cdot 3^{2023}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \cdot 3^{2022}},$ apenas por debajo de $\frac{1}{4}.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

All $3^{2023}$ assignments are equally likely. A sign filter counts the ones with every bin odd: $\frac{1}{8}\sum_{s \in \{\pm 1\}^3}(s_1 s_2 s_3)$ $\cdot (s_1 + s_2 + s_3)^{2023}.$ For $s = (1,1,1)$ and $s = (-1,-1,-1),$ both terms equal $3^{2023}.$ For each other sign choice, the sum in parentheses is $1$ or $-1,$ and the full term equals $-1,$ so these six terms total $-6.$ Thus the count is $\frac{2 \cdot 3^{2023} - 6}{8} = \frac{3^{2023} - 3}{4}.$ Dividing, the probability is $\frac{3^{2023} - 3}{4 \cdot 3^{2023}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \cdot 3^{2022}},$ a hair under $\frac{1}{4}.$ Thus, E is the correct answer.

2023 AMC 10B Problema 21

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años