Question

Los enteros positivos $a$ y $b$ son tales que las gráficas de $y=ax+5$ y $y=3x+b$ cortan al eje $x$ en el mismo punto. ¿Cuál es la suma de todas las posibles coordenadas $x$ de estos puntos de intersección?

Positive integers $a$ and $b$ are such that the graphs of $y=ax+5$ and $y=3x+b$ intersect the $x$ -axis at the same point. What is the sum of all possible $x$ -coordinates of these points of intersection?

$-20$

$-18$

$-15$

$-12$

$-8$

Solución:

Observa que las rectas cortan al eje $x$ cuando $y = 0.$ Esto nos da $0 = ax + 5$ y $0 = 3x + b,$ que al resolver nos da $x = -\dfrac{5}{a}$ y $x = -\dfrac{b}{3}.$

Igualando ambas, tenemos $\dfrac{5}{a} = \dfrac{b}{3}$ $ab = 15.$

Sabemos que $a$ y $b$ son positivos, lo que significa que los únicos pares de valores $(a, b)$ que satisfacen la ecuación anterior son $(1, 15),$ $(3, 5),$ $(5, 3),$ $(15, 1).$

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones obtenemos valores de $x$ iguales a $x = -5, -\dfrac{5}{3}, -1, -\dfrac{1}{3}.$ La suma de todos estos valores es $-8.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that the lines intersect the $x$ -axis when $y = 0.$ This gives us $0 = ax + 5$ and $0 = 3x + b,$ which when solved gives us $x = -\dfrac{5}{a}$ and $x = -\dfrac{b}{3}.$

Setting these equal to each other, we have $\dfrac{5}{a} = \dfrac{b}{3}$ $ab = 15.$

We know that $a$ and $b$ are positive, which means that the only pairs of values $(a, b)$ that satisfy the above equation are $(1, 15),$ $(3, 5),$ $(5, 3),$ $(15, 1).$

Plugging these values back into the equations gives us $x$ -values of $x = -5, -\dfrac{5}{3}, -1, -\dfrac{1}{3}.$ The sum of all these values is $-8.$

Thus, E is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años