Question

El producto

(8)(888\dots8),

donde el segundo factor tiene

k

dígitos, es un entero cuyos dígitos suman

1000.

¿Cuánto vale

k

?

The product

(8)(888\dots8),

where the second factor has

k

digits, is an integer whose digits have a sum of

1000.

What is

k?

901

911

919

991

999

Respuesta: D

Conceptos:dígitos reconocimiento de patrones inducción

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Multiplica algunos ejemplos para ver el patrón de los dígitos.

Multiply a few examples to see the digit pattern

Pista grande:

Para

k\ge3

, el producto tiene

k-2

dígitos iguales a

1

.

For

k\ge3

, the product has

k-2

digits equal to

1

Solución:

El número de

k

dígitos formado enteramente por

8

es

8\frac{10^k-1}{9}

, así que el producto es

\begin{aligned} 64\frac{10^k-1}{9} &=7\cdot10^k\\ &\quad+100\frac{10^{k-2}-1}{9}\\ &\quad+4. \end{aligned}

Para

k\ge2

, este es el número cuyos dígitos son

7

, seguido por

k-2

unos, y luego

0,4

.

Por tanto, para cualquier

k \geq 3,

la suma de los dígitos del producto es

7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9.

Finalmente, obtenemos

k + 9 = 1000

k = 991.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The

k

-digit number made entirely of

8

s is

8\frac{10^k-1}{9}

, so the product is

\begin{aligned} 64\frac{10^k-1}{9} &=7\cdot10^k\\ &\quad+100\frac{10^{k-2}-1}{9}\\ &\quad+4. \end{aligned}

For

k\ge2

, this is the number whose digits are

7

, followed by

k-2

ones, then

0,4

.

This means that for any

k \geq 3,

the sum of the digits in the product is

7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9.

Finally, we get

k + 9 = 1000

k = 991.

Thus, D is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 20

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años