Question

El producto $(8)(888\dots8),$ donde el segundo factor tiene $k$ dígitos, es un entero cuyos dígitos suman $1000.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

The product $(8)(888\dots8),$ where the second factor has $k$ digits, is an integer whose digits have a sum of $1000.$ What is $k?$

$901$

$911$

$919$

$991$

$999$

Solución:

Para ver si existe algún patrón, podemos probar valores pequeños de $k.$

Tenemos que $8 \cdot 8 = 64,$ $8 \cdot 88 = 704,$ $8 \cdot 888 = 7104,$ $8 \cdot 8888 = 71104.$

A partir de esto, es bastante seguro suponer que por cada incremento de $k,$ se agrega un $1$ más al producto. Si sabes usar inducción, puedes demostrar que este patrón se cumple, pero eso no es necesario para resolver el problema.

Esto significa que para cualquier $k \geq 3,$ la suma de los dígitos del producto es $7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9.$

Finalmente, obtenemos $k + 9 = 1000$ $k = 991.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

To see if any pattern exists, we can test out small values of $k.$

We have that $8 \cdot 8 = 64,$ $8 \cdot 88 = 704,$ $8 \cdot 888 = 7104,$ $8 \cdot 8888 = 71104.$

From this, it is pretty safe to guess that for every increment of $k,$ there is an extra $1$ added to the product. If you know how to use induction, you can prove that this pattern holds, but that's not necessary to solve the problem.

This means that for any $k \geq 3,$ the sum of the digits in the product is $7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9.$

Finally, we get $k + 9 = 1000$ $k = 991.$

Thus, D is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años