Question

La figura está construida con $11$ segmentos de recta, cada uno de longitud $2$ . El área del pentágono $ABCDE$ se puede escribir como $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

The figure is constructed from $11$ line segments, each of which has length $2.$ The area of pentagon $ABCDE$ can be written as $\sqrt{m} + \sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers. What is $m + n ?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

Solución:

Los segmentos de igual longitud muestran que las piezas laterales cerca de $B$ y $E$ están formadas por mitades de triángulos equiláteros de lado $2$ . Un triángulo equilátero de lado $2$ tiene altura $\sqrt3$ y área $\sqrt3$ , así que las dos piezas laterales juntas aportan un área de $2\sqrt3=\sqrt{12}$ .

El triángulo central restante es $\triangle ACD$ . Por las mismas alturas de triángulos equiláteros, $AC=AD=2\sqrt3=\sqrt{12}$ , y $CD=2$ . Su altura hacia $CD$ es

$\sqrt{(\sqrt{12})^2-1^2}=\sqrt{11}.$

Por lo tanto, el área de $\triangle ACD$ es $\frac12\cdot2\cdot\sqrt{11}=\sqrt{11}$ . El área total del pentágono es

$\sqrt{12}+\sqrt{11},$

así que $m+n=12+11=23$ .

Por lo tanto, la respuesta es D.

The equal length segments show that the side pieces near $B$ and $E$ are made from halves of equilateral triangles of side length $2$ . An equilateral triangle of side length $2$ has altitude $\sqrt3$ and area $\sqrt3$ , so the two side pieces together contribute area $2\sqrt3=\sqrt{12}$ .

The remaining central triangle is $\triangle ACD$ . From the same equilateral-triangle altitudes, $AC=AD=2\sqrt3=\sqrt{12}$ , and $CD=2$ . Its altitude to $CD$ is

$\sqrt{(\sqrt{12})^2-1^2}=\sqrt{11}.$

Therefore the area of $\triangle ACD$ is $\frac12\cdot2\cdot\sqrt{11}=\sqrt{11}$ . The pentagon's total area is

$\sqrt{12}+\sqrt{11},$

so $m+n=12+11=23$ .

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Spring Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años