Question

Una homotecia del plano, es decir, una transformación de tamaño con factor de escala positivo, envía el círculo de radio $2$ con centro en $A(2,2)$ al círculo de radio $3$ con centro en $A'(5,6).$ ¿Qué distancia se mueve el origen $O(0,0),$ bajo esta transformación?

A dilation of the plane—that is, a size transformation with a positive scale factor—sends the circle of radius $2$ centered at $A(2,2)$ to the circle of radius $3$ centered at $A'(5,6).$ What distance does the origin $O(0,0),$ move under this transformation?

$\ 0$

$\ 3$

$\ \sqrt{13}$

$\ 4$

$\ 5$

Solución:

El factor de escala de la homotecia es $\frac32$ , ya que el radio cambia de $2$ a $3$ . El centro de la homotecia $C$ está sobre la recta que pasa por $A(2,2)$ y $A'(5,6)$ .

El vector de $A$ a $A'$ es $(3,4)$ . Como $CA:CA'=1:\frac32$ , el vector de $C$ a $A$ es el doble del vector de $A'$ de regreso a $A$ , así que $C=(2,2)-2(3,4)=(-4,-6).$

Bajo una homotecia de factor de escala $\frac32$ con centro en $C$ , un punto se mueve la mitad de su distancia a $C$ . Como $CO=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}=\sqrt{52}$ , el origen se mueve $\frac12\sqrt{52}=\sqrt{13}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The dilation scale factor is $\frac32$ , since the radius changes from $2$ to $3$ . The center of dilation $C$ lies on the line through $A(2,2)$ and $A'(5,6)$ .

The vector from $A$ to $A'$ is $(3,4)$ . Since $CA:CA'=1:\frac32$ , the vector from $C$ to $A$ is twice the vector from $A'$ back to $A$ , so $C=(2,2)-2(3,4)=(-4,-6).$

Under a scale factor $\frac32$ dilation about $C$ , a point moves by half its distance from $C$ . Since $CO=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}=\sqrt{52}$ , the origin moves $\frac12\sqrt{52}=\sqrt{13}$ .

Thus, the correct answer is C.

2016 AMC 10B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años