Question

Los puntos

E

y

F

se ubican en el cuadrado

ABCD

de modo que

\triangle BEF

es equilátero. ¿Cuál es la razón entre el área de

\triangle DEF

y la de

\triangle ABE

?

Points

E

and

F

are located on square

ABCD

so that

\triangle BEF

is equilateral. What is the ratio of the area of

\triangle DEF

to that of

\triangle ABE?

\dfrac{4}{3}

\dfrac{3}{2}

\sqrt{3}

2

1 + \sqrt{3}

Respuesta: D

Conceptos:triángulo equilátero razón de áreas Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Supón que el cuadrado tiene lado

1

y toma

ED = DF = x

.

Let the square have side

1

and set

ED = DF = x

Pista grande:

A partir de

EF^2 = EB^2,

obtén

2x^2 = 1 + (1 - x)^2

.

From

EF^2 = EB^2,

get

2x^2 = 1 + (1 - x)^2

Solución:

Supón que el cuadrado tiene lado

1,

y por simetría toma

ED = DF = x,

así que

AE = 1 - x.

Como

\triangle BEF

es equilátero,

EF^2 = EB^2,

lo que da

2x^2 = 1 + (1 - x)^2,

que se simplifica a

x^2 = 2(1 - x).

Los triángulos rectángulos tienen áreas

[DEF] = \tfrac12 x^2

y

[ABE] = \tfrac12(1 - x),

así que

\begin{aligned} \dfrac{[DEF]}{[ABE]} &= \dfrac{x^2}{1 - x} \\ &= \dfrac{2(1 - x)}{1 - x} = 2. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the square have side

1,

and by symmetry let

ED = DF = x,

so

AE = 1 - x.

Since

\triangle BEF

is equilateral,

EF^2 = EB^2,

giving

2x^2 = 1 + (1 - x)^2,

which simplifies to

x^2 = 2(1 - x).

The right triangles have areas

[DEF] = \tfrac12 x^2

and

[ABE] = \tfrac12(1 - x),

so

\begin{aligned} \dfrac{[DEF]}{[ABE]} &= \dfrac{x^2}{1 - x} \\ &= \dfrac{2(1 - x)}{1 - x} = 2. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 10A Problema 20

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años