Question

La hormiga Erin comienza en una esquina dada de un cubo y se arrastra a lo largo de exactamente 7 aristas de tal manera que visita cada esquina exactamente una vez y luego descubre que no puede regresar por una arista a su punto de partida. ¿Cuántas trayectorias cumplen estas condiciones?

Erin the ant starts at a given corner of a cube and crawls along exactly 7 edges in such a way that she visits every corner exactly once and then finds that she is unable to return along an edge to her starting point. How many paths are there meeting these conditions?

$6$

$9$

$12$

$18$

$24$

Solución:

Las primeras dos aristas se pueden elegir de $3\cdot2=6$ maneras. Estas dos aristas determinan una cara inicial del cubo. Después de esos movimientos, hay un vértice no visitado en esa cara inicial.

Ese vértice restante debe visitarse a continuación; de lo contrario, Erin lo alcanzaría más tarde cuando todos sus vecinos ya hubieran sido visitados, y la trayectoria no podría continuar. Los últimos cuatro vértices están entonces en la cara opuesta y se pueden visitar en dos órdenes cíclicos.

De esos dos órdenes, exactamente uno termina en un vértice no adyacente al punto de partida. Por lo tanto hay $6$ trayectorias válidas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The first two edges can be chosen in $3\cdot2=6$ ways. These two edges determine an initial face of the cube. After those moves, there is one unvisited vertex on that initial face.

That remaining vertex must be visited next; otherwise Erin would later reach it after all of its neighbors had already been visited, and the path could not continue. The last four vertices are then on the opposite face and can be visited in two cyclic orders.

Of those two orders, exactly one ends at a vertex not adjacent to the starting point. Hence there are $6$ valid paths.

Thus, the correct answer is A.

2015 AMC 10B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años