Question

Sean

A,

M,

y

C

enteros no negativos tales que

A + M + C = 10.

¿Cuál es el valor máximo de

\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}

Let

A,

M,

and

C

be nonnegative integers such that

A + M + C = 10.

What is the maximum value of

\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}

49

59

69

79

89

Suma

1

a cada variable y desarrolla

(A+1)(M+1)(C+1)

.

Add

1

to each variable and expand

(A+1)(M+1)(C+1)

La expresión es igual a

(A+1)(M+1)(C+1) - 11,

así que hay que maximizar el producto de tres enteros positivos cuya suma es

13

.

The expression equals

(A+1)(M+1)(C+1) - 11,

so maximize a product of three positive integers summing to

13

Observa que

\begin{gathered} A \cdot M \cdot C + AM + MC + CA \\ = (A+1)(M+1)(C+1) \\ {}- (A + M + C) - 1 \\ = (A+1)(M+1)(C+1) - 11. \end{gathered}

Maximizamos un producto de tres enteros positivos cuya suma es

13.

La partición más equilibrada es

4, 4, 5,

que da

4 \cdot 4 \cdot 5 = 80.

El máximo es

80 - 11 = 69.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Notice that

\begin{gathered} A \cdot M \cdot C + AM + MC + CA \\ = (A+1)(M+1)(C+1) \\ {}- (A + M + C) - 1 \\ = (A+1)(M+1)(C+1) - 11. \end{gathered}

We maximize a product of three positive integers summing to

13.

The most balanced split is

4, 4, 5,

giving

4 \cdot 4 \cdot 5 = 80.

The maximum is

80 - 11 = 69.

Thus, the correct answer is C.