Question

Sean $A,$ $M,$ y $C$ enteros no negativos tales que $A + M + C = 10.$ ¿Cuál es el valor máximo de $\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A \end{aligned}$ ?

Let $A,$ $M,$ and $C$ be nonnegative integers such that $A + M + C = 10.$ What is the maximum value of $\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}$

$49$

$59$

$69$

$79$

$89$

Solución:

Observa que $\begin{gathered} A \cdot M \cdot C + AM + MC + CA \\ = (A+1)(M+1)(C+1) \\ {}- (A + M + C) - 1 \\ = (A+1)(M+1)(C+1) - 11. \end{gathered}$

Maximizamos un producto de tres enteros positivos cuya suma es $13.$ La partición más equilibrada es $4, 4, 5,$ que da $4 \cdot 4 \cdot 5 = 80.$

El máximo es $80 - 11 = 69.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Notice that $\begin{gathered} A \cdot M \cdot C + AM + MC + CA \\ = (A+1)(M+1)(C+1) \\ {}- (A + M + C) - 1 \\ = (A+1)(M+1)(C+1) - 11. \end{gathered}$

We maximize a product of three positive integers summing to $13.$ The most balanced split is $4, 4, 5,$ giving $4 \cdot 4 \cdot 5 = 80.$

The maximum is $80 - 11 = 69.$

Thus, the correct answer is C.

2000 AMC 10 Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años