Question

Sea $S$ un subconjunto de $\{1, 2, 3, \ldots, 2024\}$ tal que se cumplan las dos condiciones siguientes:

• Si $x$ e $y$ son elementos distintos de $S,$ entonces $|x - y| \gt 2.$

• Si $x$ e $y$ son elementos impares distintos de $S,$ entonces $|x - y| \gt 6.$

¿Cuál es el máximo número posible de elementos en $S$ ?

Let $S$ be a subset of $\{1, 2, 3, \ldots, 2024\}$ such that the following two conditions hold:

• If $x$ and $y$ are distinct elements of $S,$ then $|x - y| \gt 2.$

• If $x$ and $y$ are distinct odd elements of $S,$ then $|x - y| \gt 6.$

What is the maximum possible number of elements in $S?$

$436$

$506$

$608$

$654$

$675$

Solución:

Las dos condiciones dicen que los números elegidos están al menos $3$ de distancia, y los números impares elegidos al menos $7$ . Prueba el patrón $1, 4, 8, 11, 14, 18, \ldots$ (residuos $1, 4, 8 \pmod{10}$ ). Cada salto es $\ge 3,$ y cada bloque de $10$ contiene exactamente un número impar, así que los impares se mantienen a $10$ de distancia. Eso da $3$ números por cada $10.$ Ahora $\{1, \ldots, 2024\}$ tiene $202$ bloques completos más $2021, 2024,$ así que el conteo es $202 \cdot 3 + 2 = 608.$ Cada bloque de $10$ puede contener a lo más $3$ elementos, así que no podemos hacerlo mejor. Por lo tanto, la respuesta es C.

The two conditions say chosen numbers are at least $3$ apart, and chosen odd numbers at least $7$ apart. Try the pattern $1, 4, 8, 11, 14, 18, \ldots$ (residues $1, 4, 8 \pmod{10}$ ). Every gap is $\ge 3,$ and each block of $10$ holds exactly one odd number, so the odds stay $10$ apart. That's $3$ numbers per $10.$ Now $\{1, \ldots, 2024\}$ is $202$ full blocks plus $2021, 2024,$ so the count is $202 \cdot 3 + 2 = 608.$ Each block of $10$ can hold at most $3$ elements, so we can't do better. Therefore, the answer is C.

2024 AMC 10A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años