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2006 AMC 10B Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2006 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2006 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

En el rectángulo ABCD,ABCD, tenemos A=(6,−22),A=(6,-22), B=(2006,178),B=(2006,178), y D=(8,y)D=(8,y) para algún entero y.y. ¿Cuál es el área del rectángulo ABCDABCD?
In rectangle ABCD,ABCD, we have A=(6,−22),A=(6,-22), B=(2006,178),B=(2006,178), and D=(8,y)D=(8,y) for some integer y.y. What is the area of rectangle ABCD?ABCD?
40004000
40404040
44004400
40,00040{,}000
40,40040{,}400
Respuesta: E
Conceptos:geometría analíticapendientefórmula de la distancia
Nivel de dificultad: 1580
Pista pequeña:
Se tiene AB‾⊥AD‾,\overline{AB}\perp\overline{AD}, por lo que sus pendientes se multiplican dando −1-1.
AB‾⊥AD‾,\overline{AB}\perp\overline{AD}, so their slopes multiply to −1-1
Pista grande:
El área es AB⋅ADAB\cdot AD.
The area is AB⋅ADAB\cdot AD
Solución:
La pendiente de AB‾\overline{AB} es 178−(−22)2006−6=2002000=110.\tfrac{178-(-22)}{2006-6}=\tfrac{200}{2000}=\tfrac1{10}. Como AD‾⊥AB‾,\overline{AD}\perp\overline{AB}, su pendiente es −10,-10, así que y+228−6=−10\tfrac{y+22}{8-6}=-10 da y=−42.y=-42.
Entonces AB=20002+2002AB=\sqrt{2000^2+200^2} =200101=200\sqrt{101} y AD=22+202=2101.AD=\sqrt{2^2+20^2}=2\sqrt{101}.
El área es 200101⋅2101200\sqrt{101}\cdot2\sqrt{101} =400⋅101=400\cdot101 =40,400.=40{,}400.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The slope of AB‾\overline{AB} is 178−(−22)2006−6=2002000=110.\tfrac{178-(-22)}{2006-6}=\tfrac{200}{2000}=\tfrac1{10}. Since AD‾⊥AB‾,\overline{AD}\perp\overline{AB}, its slope is −10,-10, so y+228−6=−10\tfrac{y+22}{8-6}=-10 gives y=−42.y=-42.
Then AB=20002+2002AB=\sqrt{2000^2+200^2} =200101=200\sqrt{101} and AD=22+202=2101.AD=\sqrt{2^2+20^2}=2\sqrt{101}.
The area is 200101⋅2101200\sqrt{101}\cdot2\sqrt{101} =400⋅101=400\cdot101 =40,400.=40{,}400.
Thus, the correct answer is E.
Problema 19#19
Examen completo
Problema 21#21

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