Question

En el rectángulo $ABCD,$ tenemos $A=(6,-22),$ $B=(2006,178),$ y $D=(8,y)$ para algún entero $y.$ ¿Cuál es el área del rectángulo $ABCD$ ?

In rectangle $ABCD,$ we have $A=(6,-22),$ $B=(2006,178),$ and $D=(8,y)$ for some integer $y.$ What is the area of rectangle $ABCD?$

$4000$

$4040$

$4400$

$40{,}000$

$40{,}400$

Solución:

La pendiente de $\overline{AB}$ es $\tfrac{178-(-22)}{2006-6}=\tfrac{200}{2000}=\tfrac1{10}.$ Como $\overline{AD}\perp\overline{AB},$ su pendiente es $-10,$ así que $\tfrac{y+22}{8-6}=-10$ da $y=-42.$

Entonces $AB=\sqrt{2000^2+200^2}$ $=200\sqrt{101}$ y $AD=\sqrt{2^2+20^2}=2\sqrt{101}.$

El área es $200\sqrt{101}\cdot2\sqrt{101}$ $=400\cdot101$ $=40{,}400.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The slope of $\overline{AB}$ is $\tfrac{178-(-22)}{2006-6}=\tfrac{200}{2000}=\tfrac1{10}.$ Since $\overline{AD}\perp\overline{AB},$ its slope is $-10,$ so $\tfrac{y+22}{8-6}=-10$ gives $y=-42.$

Then $AB=\sqrt{2000^2+200^2}$ $=200\sqrt{101}$ and $AD=\sqrt{2^2+20^2}=2\sqrt{101}.$

The area is $200\sqrt{101}\cdot2\sqrt{101}$ $=400\cdot101$ $=40{,}400.$

Thus, the correct answer is E.

2006 AMC 10B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años