Question

Se forma un octágono regular cortando un triángulo rectángulo isósceles de cada una de las esquinas de un cuadrado con lados de longitud $2000.$ ¿Cuál es la longitud de cada lado del octágono?

A regular octagon is formed by cutting an isosceles right triangle from each of the corners of a square with sides of length $2000.$ What is the length of each side of the octagon?

$\dfrac13(2000)$

$2000(\sqrt2-1)$

$2000(2-\sqrt2)$

$1000$

$1000\sqrt2$

Solución:

Sea cada lado del octágono $x.$ Es la hipotenusa de cada triángulo rectángulo isósceles cortado, cuyos catetos son $\dfrac{x}{\sqrt2}.$

A lo largo de un lado del cuadrado, dos catetos y un lado del octágono dan $2\cdot\dfrac{x}{\sqrt2}+x=2000,$ así que $x(\sqrt2+1)=2000$ y $x=\dfrac{2000}{\sqrt2+1}=2000(\sqrt2-1).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let each octagon side be $x.$ It is the hypotenuse of each cut isosceles right triangle, whose legs are $\dfrac{x}{\sqrt2}.$

Along one side of the square, two legs and one octagon side give $2\cdot\dfrac{x}{\sqrt2}+x=2000,$ so $x(\sqrt2+1)=2000$ and $x=\dfrac{2000}{\sqrt2+1}=2000(\sqrt2-1).$

Thus, the correct answer is B.

2001 AMC 10 Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años