Question

Sea $ABCD$ un rombo con $\angle ADC = 46^\circ.$ Sea $E$ el punto medio de $\overline{CD},$ y sea $F$ el punto sobre $\overline{BE}$ tal que $\overline{AF}$ es perpendicular a $\overline{BE}.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle BFC$ ?

Let $ABCD$ be a rhombus with $\angle ADC = 46^\circ.$ Let $E$ be the midpoint of $\overline{CD},$ and let $F$ be the point on $\overline{BE}$ such that $\overline{AF}$ is perpendicular to $\overline{BE}.$ What is the degree measure of $\angle BFC?$

$\ 110$

$\ 111$

$\ 112$

$\ 113$

$\ 114$

Solución:

Primero, extendemos $BE$ y $AD$ de modo que se corten en $G.$ Como $\angle GDE = \angle ECB,$ $\angle GED = \angle BEC$ y $DE = EC,$ sabemos que $GDE \cong BCE.$ Por lo tanto, $DG =BC = AD.$ Esto significa que si construimos una circunferencia con centro $D$ que pase por $A,$ entonces $C,G$ también están en ella.

Además, como $AFG$ es un triángulo rectángulo, la circunferencia dibujada sería su circuncírculo, colocando $F$ sobre la circunferencia.

Como $\angle GDC = 134^\circ,$ obtenemos $\angle CFE = \angle CFG = \dfrac {\overset{\Large\frown}{CG}} 2$ $= \dfrac{134^\circ}{2} = 67^\circ.$ Por lo tanto, $\angle BFC = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ.$

Así, la respuesta es D.

First, we extend $BE$ and $AD$ such that they meet at $G.$ Since $\angle GDE = \angle ECB,$ $\angle GED = \angle BEC$ and $DE = EC,$ we know $GDE \cong BCE.$ Therefore, $DG =BC = AD.$ This means that if we construct a circle with center $D$ that includes $A,$ $C,G$ are also on it.

Also, since $AFG$ is a right triangle, the drawn circle would be its circumcircle, placing $F$ on the circle.

Since $\angle GDC = 134^\circ,$ we can get $\angle CFE = \angle CFG = \dfrac {\overset{\Large\frown}{CG}} 2$ $= \dfrac{134^\circ}{2} = 67^\circ.$ Therefore, $\angle BFC = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ.$

Thus, the answer is D .

2022 AMC 10B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años