Question

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes racionales tal que, cuando $P(x)$ se divide entre el polinomio $x^2 + x + 1,$ el residuo es $x+2,$ y cuando $P(x)$ se divide entre el polinomio $x^2+1,$ el residuo es $2x+1.$ Existe un único polinomio de menor grado con estas dos propiedades. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los coeficientes de ese polinomio?

Let $P(x)$ be a polynomial with rational coefficients such that when $P(x)$ is divided by the polynomial $x^2 + x + 1,$ the remainder is $x+2,$ and when $P(x)$ is divided by the polynomial $x^2+1,$ the remainder is $2x+1.$ There is a unique polynomial of least degree with these two properties. What is the sum of the squares of the coefficients of that polynomial?

$\ 10$

$\ 13$

$\ 19$

$\ 20$

$\ 23$

Solución:

Como $P(x)$ tiene residuo $x+2$ al dividirlo entre $x^2+x+1,$ debe poder escribirse como $P(x) =$ $(x^2+x+1)Q(x)+x+2$ para algún polinomio $Q(x).$ Nota que el residuo de $P(x)$ al dividirlo entre $x^2+1$ es igual al residuo de $xQ(x) + x+2.$

Si $Q(x)=c$ es constante, este residuo es $(c+1)x+2,$ que nunca puede ser igual a $2x+1$ porque los términos constantes $2$ y $1$ difieren. Así que $Q$ debe tener grado al menos $1.$

Prueba $Q(x) = ax+b.$ Entonces el residuo de $P(x)$ módulo $x^2+1$ es igual al residuo de $\begin{aligned} &(ax+b)x+x+2 \\ &\quad = ax^2 + (b+1)x+2 \end{aligned}$ módulo $x^2+1.$ Al restar $a(x^2+1)$ se obtiene $(b+1)x +(2-a),$ que debe ser igual a $2x+1.$ Por lo tanto $b+1=2$ y $2-a=1,$ así que $a=b=1.$

Esto significa que $P(x) =$ $(x+1)(x^2+x+1)+x+2 =$ $x^3+2x^2+3x+3.$ La suma de los cuadrados de los coeficientes es $23.$

Así, la respuesta es E.

Since $P(x)$ has a remainder of $x+2$ when divided by $x^2+x+1,$ it must be able to be written as $P(x) =$ $(x^2+x+1)Q(x)+x+2$ for some polynomial $Q(x).$ Note that the remainder of $P(x)$ when divided by $x^2+1$ is equal to the remainder when $xQ(x) + x+2.$

If $Q(x)=c$ is constant, this remainder is $(c+1)x+2,$ which can never equal $2x+1$ because the constant terms $2$ and $1$ differ. So $Q$ must have degree at least $1.$

Try $Q(x) = ax+b.$ Then the remainder of $P(x)$ modulo $x^2+1$ equals the remainder of $\begin{aligned} &(ax+b)x+x+2 \\ &\quad = ax^2 + (b+1)x+2 \end{aligned}$ modulo $x^2+1.$ Subtracting $a(x^2+1)$ gives $(b+1)x +(2-a),$ which must equal $2x+1.$ Thus $b+1=2$ and $2-a=1,$ so $a=b=1.$

This means $P(x) =$ $(x+1)(x^2+x+1)+x+2 =$ $x^3+2x^2+3x+3.$ The sum of the squares of the coefficients is $23.$

Thus, the answer is E .

2022 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años