Question

En el cuadrado $ABCD$ , los puntos $E$ y $H$ están en $\overline{AB}$ y $\overline{DA}$ , respectivamente, de modo que $AE=AH$ . Los puntos $F$ y $G$ están en $\overline{BC}$ y $\overline{CD}$ , respectivamente, y los puntos $I$ y $J$ están en $\overline{EH}$ de modo que $\overline{FI} \perp \overline{EH}$ y $\overline{GJ} \perp \overline{EH}$ . Observa la figura de abajo. El triángulo $AEH$ , el cuadrilátero $BFIE$ , el cuadrilátero $DHJG$ y el pentágono $FCGJI$ tienen cada uno área $1$ . ¿Cuánto vale $FI^2$ ?

In square $ABCD,$ points $E$ and $H$ lie on $\overline{AB}$ and $\overline{DA},$ respectively, so that $AE=AH.$ Points $F$ and $G$ lie on $\overline{BC}$ and $\overline{CD},$ respectively, and points $I$ and $J$ lie on $\overline{EH}$ so that $\overline{FI} \perp \overline{EH}$ and $\overline{GJ} \perp \overline{EH}.$ See the figure below. Triangle $AEH,$ quadrilateral $BFIE,$ quadrilateral $DHJG,$ and pentagon $FCGJI$ each has area $1.$ What is $FI^2?$

$\dfrac73$

$8-4\sqrt2$

$1+\sqrt2$

$\dfrac74\sqrt2$

$2\sqrt2$

Solución en video:

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Solución escrita:

Las cuatro regiones nombradas llenan el cuadrado y cada una tiene área $1$ , así que el cuadrado tiene área $4$ y lado $2$ . Como el triángulo $AEH$ es rectángulo isósceles con área $1$ , tenemos $AE=AH=\sqrt2$ .

Extiende $FI$ hasta cortar $AB$ en $K$ . Entonces $BE=2-\sqrt2$ , y el triángulo $BEK$ es rectángulo isósceles, así que su área es $\frac12(2-\sqrt2)^2=3-2\sqrt2.$ La región $BFIE$ tiene área $1$ , así que el triángulo $FIK$ tiene área $1+(3-2\sqrt2)=4-2\sqrt2.$ El triángulo $FIK$ también es rectángulo isósceles, así que su área es $\frac12 FI^2$ . Por lo tanto $\begin{aligned} &\frac12 FI^2=4-2\sqrt2, \\ &\quad FI^2=8-4\sqrt2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The four named regions fill the square and each has area $1$ , so the square has area $4$ and side length $2$ . Since triangle $AEH$ is right isosceles with area $1$ , we have $AE=AH=\sqrt2$ .

Extend $FI$ to meet $AB$ at $K$ . Then $BE=2-\sqrt2$ , and triangle $BEK$ is right isosceles, so its area is $\frac12(2-\sqrt2)^2=3-2\sqrt2.$ The region $BFIE$ has area $1$ , so triangle $FIK$ has area $1+(3-2\sqrt2)=4-2\sqrt2.$ Triangle $FIK$ is also right isosceles, so its area is $\frac12 FI^2$ . Hence $\begin{aligned} &\frac12 FI^2=4-2\sqrt2, \\ &\quad FI^2=8-4\sqrt2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B .

2020 AMC 10B Problema 21

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 21 en otros años