Question

Diez sillas están espaciadas uniformemente alrededor de una mesa redonda y numeradas en sentido horario del $1$ al $10.$ Cinco parejas casadas van a sentarse en las sillas con hombres y mujeres alternando, y nadie debe sentarse junto a ni directamente enfrente de su cónyuge. ¿Cuántas disposiciones de asientos son posibles?

Ten chairs are evenly spaced around a round table and numbered clockwise from $1$ through $10.$ Five married couples are to sit in the chairs with men and women alternating, and no one is to sit either next to or directly across from his or her spouse. How many seating arrangements are possible?

$240$

$360$

$480$

$540$

$720$

Solución:

Sienta primero a las mujeres. La primera mujer puede ocupar cualquiera de las $10$ sillas, y como los asientos se alternan, las mujeres restantes llenan sus cuatro asientos de $4!$ maneras, dando $10\cdot 4!=240$ disposiciones.

Fija una mujer en la silla $1.$ Su cónyuge debe sentarse en la silla $4$ o la silla $8;$ cada elección obliga entonces de forma consistente la ubicación de todos los demás hombres. Así que cada disposición de las mujeres produce exactamente $2$ disposiciones válidas de los hombres.

El total es $2\cdot 240=480.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Seat the women first. The first woman may take any of the $10$ chairs, and since seats alternate, the remaining women fill their four seats in $4!$ ways, giving $10\cdot 4!=240$ arrangements.

Fix a woman in chair $1.$ Her spouse must sit in chair $4$ or chair $8;$ each choice then forces the placement of every other man consistently. So each seating of the women yields exactly $2$ valid seatings of the men.

The total is $2\cdot 240=480.$

Thus, the correct answer is C.

2008 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años