Question

Tres cuentas rojas, dos cuentas blancas y una cuenta azul se colocan en una fila en orden aleatorio. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya dos cuentas vecinas del mismo color?

Three red beads, two white beads, and one blue bead are placed in a line in random order. What is the probability that no two neighboring beads are the same color?

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

Hay $\tfrac{6!}{3!\,2!}=60$ ordenaciones distinguibles. Las tres rojas deben ocupar posiciones no adyacentes, y las posibles ubicaciones de las rojas son $\{1,3,5\},\{2,4,6\},\{1,3,6\},$ y $\{1,4,6\}.$

Para $\{1,3,5\}$ y $\{2,4,6\},$ los lugares restantes son mutuamente no adyacentes, así que la cuenta azul puede ir en cualquiera de los $3,$ dando $3+3=6.$ Para $\{1,3,6\}$ y $\{1,4,6\},$ dos lugares restantes son adyacentes, así que la azul debe separar las blancas, dando $2+2=4.$

Eso son $10$ ordenaciones válidas, así que la probabilidad es $\tfrac{10}{60}=\tfrac16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

There are $\tfrac{6!}{3!\,2!}=60$ distinguishable orderings. The three reds must occupy non-adjacent positions, and the possible red placements are $\{1,3,5\},\{2,4,6\},\{1,3,6\},$ and $\{1,4,6\}.$

For $\{1,3,5\}$ and $\{2,4,6\},$ the remaining seats are mutually non-adjacent, so the blue bead can go in any of the $3,$ giving $3+3=6.$ For $\{1,3,6\}$ and $\{1,4,6\},$ two remaining seats are adjacent, so the blue must separate the whites, giving $2+2=4.$

That is $10$ valid orderings, so the probability is $\tfrac{10}{60}=\tfrac16.$

Thus, the correct answer is C.

2008 AMC 10B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años