Question

En el rectángulo $ABCD,$ tenemos $AB = 8,$ $BC = 9,$ $H$ está en $\overline{BC}$ con $BH = 6,$ $E$ está en $AD$ con $DE = 4,$ la recta $EC$ corta a la recta $AH$ en $G,$ y $F$ está en la recta $AD$ con $\overline{GF} \perp \overline{AF}.$ Halla la longitud $\overline{GF}.$

In rectangle $ABCD,$ we have $AB = 8,$ $BC = 9,$ $H$ is on $\overline{BC}$ with $BH = 6,$ $E$ is on $AD$ with $DE = 4,$ line $EC$ intersects line $AH$ at $G,$ and $F$ is on line $AD$ with $\overline{GF} \perp \overline{AF}.$ Find the length $\overline{GF}.$

$16$

$20$

$24$

$28$

$30$

Solución:

Coloca $D = (0, 0),$ $A = (9, 0),$ $B = (9, 8),$ $C = (0, 8),$ $H = (3, 8),$ y $E = (4, 0).$

La recta $AH$ tiene ecuación $y = -\dfrac{4}{3}x + 12,$ y la recta $EC$ tiene ecuación $y = -2x + 8.$

Al igualarlas se obtiene $x = -6$ y $y = 20,$ así que $G = (-6, 20).$ Como $\overline{GF}$ es perpendicular a la recta $AD$ (el eje $x$ ), su longitud es la altura $20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place $D = (0, 0),$ $A = (9, 0),$ $B = (9, 8),$ $C = (0, 8),$ $H = (3, 8),$ and $E = (4, 0).$

Line $AH$ has equation $y = -\dfrac{4}{3}x + 12,$ and line $EC$ has equation $y = -2x + 8.$

Setting them equal gives $x = -6$ and $y = 20,$ so $G = (-6, 20).$ Since $\overline{GF}$ is perpendicular to line $AD$ (the $x$ -axis), its length is the height $20.$

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años