Question

Sean $a, b, c,$ y $d$ enteros positivos tales que $\gcd(a, b)=24,$ $\gcd(b, c)=36,$ $\gcd(c, d)=54,$ y $70 < \gcd(d, a) < 100.$ ¿Cuál de las siguientes opciones debe ser un divisor de $a$ ?

Let $a, b, c,$ and $d$ be positive integers such that $\gcd(a, b)=24,$ $\gcd(b, c)=36,$ $\gcd(c, d)=54,$ and $70 < \gcd(d, a) < 100.$ Which of the following must be a divisor of $a?$

$5$

$7$

$11$

$13$

$17$

Solución:

De $\gcd(a,b)=24=2^3\cdot3$ y $\gcd(b,c)=36=2^2\cdot3^2$ , el número $a$ es divisible por $2^3\cdot3$ pero no por $3^2$ .

De $\gcd(b,c)=36$ y $\gcd(c,d)=54=2\cdot3^3$ , el número $d$ es divisible por $2\cdot3^3$ pero no por $2^2$ . Por lo tanto $\gcd(d,a)=2\cdot3\cdot n$ , donde $n$ no tiene factor $2$ ni $3$ .

Como $70<6n<100$ , tenemos $12<n<17$ . El único entero posible $n$ sin factor $2$ ni $3$ es $13$ , así que el factor debe ser $13$ . Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

From $\gcd(a,b)=24=2^3\cdot3$ and $\gcd(b,c)=36=2^2\cdot3^2$ , the number $a$ is divisible by $2^3\cdot3$ but not by $3^2$ .

From $\gcd(b,c)=36$ and $\gcd(c,d)=54=2\cdot3^3$ , the number $d$ is divisible by $2\cdot3^3$ but not by $2^2$ . Therefore $\gcd(d,a)=2\cdot3\cdot n$ , where $n$ has no factor $2$ or $3$ .

Since $70<6n<100$ , we have $12<n<17$ . The only possible integer $n$ with no factor $2$ or $3$ is $13$ , so the factor must be $13$ . Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años