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2018 AMC 10A Problema 22

Intenta el Problema 22 del 2018 AMC 10A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

Sean a,a, b,b, c,c, y dd enteros positivos tales que gcd⁡(a,b)=24,\gcd(a, b)=24, gcd⁡(b,c)=36,\gcd(b, c)=36, gcd⁡(c,d)=54,\gcd(c, d)=54, y 70<gcd⁡(d,a)<100.70 < \gcd(d, a) < 100. ¿Cuál de las siguientes opciones debe ser un divisor de aa?
Let a,a, b,b, c,c, and dd be positive integers such that gcd⁡(a,b)=24,\gcd(a, b)=24, gcd⁡(b,c)=36,\gcd(b, c)=36, gcd⁡(c,d)=54,\gcd(c, d)=54, and 70<gcd⁡(d,a)<100.70 < \gcd(d, a) < 100. Which of the following must be a divisor of a?a?
55
77
1111
1313
1717
Respuesta: D
Conceptos:máximo común divisorfactorización en primosacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 2010
Pista pequeña:
Rastrea las potencias forzadas de 22 y 33 en los máximos comunes divisores.
Track the forced powers of 22 and 33 in the gcds
Pista grande:
El factor restante de gcd⁡(d,a)\gcd(d,a) debe estar entre 1212 y 1717.
The remaining factor of gcd⁡(d,a)\gcd(d,a) must lie between 1212 and 1717
Solución:
De gcd⁡(a,b)=24=23⋅3\gcd(a,b)=24=2^3\cdot3 y gcd⁡(b,c)=36=22⋅32\gcd(b,c)=36=2^2\cdot3^2, el número aa es divisible por 23⋅32^3\cdot3 pero no por 323^2.
De gcd⁡(b,c)=36\gcd(b,c)=36 y gcd⁡(c,d)=54=2⋅33\gcd(c,d)=54=2\cdot3^3, el número dd es divisible por 2⋅332\cdot3^3 pero no por 222^2. Por lo tanto gcd⁡(d,a)=2⋅3⋅n\gcd(d,a)=2\cdot3\cdot n, donde nn no tiene factor 22 ni 33.
Como 70<6n<100,70<6n<100, el entero nn cumple 12≤n≤16.12\le n\le16. El único valor en ese rango sin factor 22 ni 33 es 13,13, así que 1313 debe dividir a a.a. Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
From gcd⁡(a,b)=24=23⋅3\gcd(a,b)=24=2^3\cdot3 and gcd⁡(b,c)=36=22⋅32\gcd(b,c)=36=2^2\cdot3^2, the number aa is divisible by 23⋅32^3\cdot3 but not by 323^2.
From gcd⁡(b,c)=36\gcd(b,c)=36 and gcd⁡(c,d)=54=2⋅33\gcd(c,d)=54=2\cdot3^3, the number dd is divisible by 2⋅332\cdot3^3 but not by 222^2. Therefore gcd⁡(d,a)=2⋅3⋅n\gcd(d,a)=2\cdot3\cdot n, where nn has no factor 22 or 33.
Since 70<6n<100,70<6n<100, the integer nn satisfies 12≤n≤16.12\le n\le16. The only value in this range with no factor 22 or 33 is 13,13, so 1313 must divide a.a. Thus, D is the correct answer.
Problema 21#21
Examen completo
Problema 23#23

El Problema 22 en otros años

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