Question

Ocho semicírculos recubren el interior de un cuadrado de lado $2$ , como se muestra. ¿Cuál es el radio del círculo tangente a todos estos semicírculos?

Eight semicircles line the inside of a square with side length $2$ as shown. What is the radius of the circle tangent to all of these semicircles? \t\t

$\dfrac{1+\sqrt2}4$

$\dfrac{\sqrt5-1}2$

$\dfrac{\sqrt3+1}4$

$\dfrac{2\sqrt3}5$

$\dfrac{\sqrt5}3$

Solución:

La distancia del centro del cuadrado al centro de los semicírculos se puede hallar como la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Uno de los catetos va del centro del cuadrado al centro de uno de los lados, con distancia $1.$

El otro cateto va del centro del lado al centro de uno de los semicírculos, con distancia $\dfrac 12.$ Esto también muestra que el radio de los semicírculos es $\dfrac 12.$

Por lo tanto, la distancia del centro del cuadrado al centro del semicírculo es $\sqrt{1^2 + \dfrac 12 ^2} = \dfrac {\sqrt 5}2.$ Luego, restamos $\dfrac 12$ por el radio del semicírculo. Esto hace que el radio del círculo sea $\dfrac{\sqrt 5 -1}2 .$

Así, la respuesta correcta es B.

The distance from the center of the square to the center of the semicircles can be found as a hypotenuse of a right triangle.

One of the legs is from the center of the square to the center of one of the sides which is of distance $1.$

The other leg is from the center of the side to the center of one of the semicircles which is of distance $\dfrac 12.$ This also shows that the radius of the semicircles is $\dfrac 12.$

Therefore, the distance from the center of the square to the center of the semicircle is $\sqrt{1^2 + \dfrac 12 ^2} = \dfrac {\sqrt 5}2.$ Then , we subtract $\dfrac 12$ for the radius of the semicircle. This makes the radius of the circle $\dfrac{\sqrt 5 -1}2 .$

Thus, the correct answer is B .

2014 AMC 10B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años