Question

Un conjunto de fichas numeradas del $1$ al $100$ se modifica repetidamente mediante la siguiente operación: se quitan todas las fichas numeradas con un cuadrado perfecto, y se renumeran las fichas restantes de forma consecutiva empezando por $1.$ ¿Cuántas veces debe realizarse la operación para reducir el número de fichas del conjunto a una?

A set of tiles numbered $1$ through $100$ is modified repeatedly by the following operation: remove all tiles numbered with a perfect square, and renumber the remaining tiles consecutively starting with $1.$ How many times must the operation be performed to reduce the number of tiles in the set to one?

$10$

$11$

$18$

$19$

$20$

Solución:

Partiendo de $n^2$ fichas, una operación quita los $n$ cuadrados perfectos, dejando $n^2-n.$ La siguiente operación quita $n-1$ cuadrados perfectos, dejando $n^2-n-(n-1)=(n-1)^2.$

Así que cada dos operaciones reducen $n^2$ a $(n-1)^2.$ Ir de $10^2=100$ hasta $1^2=1$ requiere $2(10-1)=18$ operaciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Starting from $n^2$ tiles, one operation removes the $n$ perfect squares, leaving $n^2-n.$ The next operation removes $n-1$ perfect squares, leaving $n^2-n-(n-1)=(n-1)^2.$

So every two operations reduce $n^2$ to $(n-1)^2.$ Going from $10^2=100$ down to $1^2=1$ takes $2(10-1)=18$ operations.

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años