Question

Seis esferas de radio $1$ se colocan de modo que sus centros están en los vértices de un hexágono regular de lado $2.$ Las seis esferas son tangentes internamente a una esfera mayor cuyo centro es el centro del hexágono. Una octava esfera es tangente externamente a las seis esferas menores y tangente internamente a la esfera mayor. ¿Cuál es el radio de esta octava esfera?

Six spheres of radius $1$ are positioned so that their centers are at the vertices of a regular hexagon of side length $2.$ The six spheres are internally tangent to a larger sphere whose center is the center of the hexagon. An eighth sphere is externally tangent to the six smaller spheres and internally tangent to the larger sphere. What is the radius of this eighth sphere?

$\sqrt2$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$\sqrt3$

$2$

Solución:

Los centros de las seis esferas de radio $1$ forman un hexágono regular de lado $2$ , así que cada uno está a $2$ unidades del centro de la esfera grande. Por lo tanto, la esfera grande tiene radio $3$ .

Sea $r$ el radio de la octava esfera, y sea $x$ la distancia de su centro al centro de la esfera grande. La tangencia interna da $x+r=3$ , así que $x=3-r$ .

Usando el triángulo rectángulo entre el centro grande, el centro de una esfera pequeña y el centro de la octava esfera, $(r+1)^2=2^2+(3-r)^2$ . Así $2r+1=13-6r$ , de modo que $r=\frac32$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The centers of the six radius- $1$ spheres form a regular hexagon of side length $2$ , so each is $2$ units from the large sphere's center. Hence the large sphere has radius $3$ .

Let the eighth sphere have radius $r$ , and let its center be distance $x$ from the large sphere's center. Internal tangency gives $x+r=3$ , so $x=3-r$ .

Using the right triangle between the large center, a small-sphere center, and the eighth-sphere center, $(r+1)^2=2^2+(3-r)^2$ . Thus $2r+1=13-6r$ , so $r=\frac32$ .

Thus, B is the correct answer.

2013 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años