Question

Los apuntes de álgebra de Hiram tienen $50$ páginas y están impresos en $25$ hojas de papel; la primera hoja contiene las páginas $1$ y $2,$ la segunda hoja contiene las páginas $3$ y $4,$ y así sucesivamente. Un día deja sus apuntes sobre la mesa antes de irse a comer, y su compañero de cuarto decide tomar prestadas algunas páginas de la mitad de los apuntes. Cuando Hiram regresa, descubre que su compañero se ha llevado un conjunto consecutivo de hojas de los apuntes y que el promedio (media) de los números de página de todas las hojas restantes es exactamente $19$ . ¿Cuántas hojas se tomaron prestadas?

Hiram's algebra notes are $50$ pages long and are printed on $25$ sheets of paper; the first sheet contains pages $1$ and $2,$ the second sheet contains pages $3$ and $4,$ and so on. One day he leaves his notes on the table before leaving for lunch, and his roommate decides to borrow some pages from the middle of the notes. When Hiram comes back, he discovers that his roommate has taken a consecutive set of sheets from the notes and that the average (mean) of the page numbers on all remaining sheets is exactly $19.$ How many sheets were borrowed?

$10$

$13$

$15$

$17$

$20$

Solución en video:

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Solución escrita:

Supongamos que las hojas prestadas son de la hoja $a$ a la hoja $b$ . Entonces las páginas prestadas van desde $2a-1$ hasta $2b$ , así que hay $2(b-a+1)$ páginas prestadas.

La suma total de todos los números de página es $50\cdot51/2=1275$ . Si las páginas restantes tienen media $19$ , entonces

$\begin{aligned} &1275 \\ &\quad {}\small -\frac{(2a-1+2b)\cdot 2(b-a+1)}{2} \\ &= 19\bigl(50-2(b-a+1)\bigr). \end{aligned}$

Al simplificar se obtiene

$\begin{aligned} &(2a+2b-39) \\ &\quad {}\cdot(b-a+1) \\ &= 325 \\ &= 25\cdot13. \end{aligned}$

La solución positiva con hojas consecutivas en la mitad es

$\begin{aligned} 2a+2b-39 &=25, \\ b-a+1 &=13. \end{aligned}$

Así, $a+b=32$ y $b-a=12$ , de modo que $a=10$ y $b=22$ . Por lo tanto, se tomaron prestadas $13$ hojas.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Suppose the borrowed sheets are sheets $a$ through $b$ . Then the borrowed pages run from $2a-1$ through $2b$ , so there are $2(b-a+1)$ borrowed pages.

The total sum of all page numbers is $50\cdot51/2=1275$ . If the remaining pages have mean $19$ , then

$\begin{aligned} &1275 \\ &\quad {}\small -\frac{(2a-1+2b)\cdot 2(b-a+1)}{2} \\ &= 19\bigl(50-2(b-a+1)\bigr). \end{aligned}$

Simplifying gives

$\begin{aligned} &(2a+2b-39) \\ &\quad {}\cdot(b-a+1) \\ &= 325 \\ &= 25\cdot13. \end{aligned}$

The positive solution with consecutive sheets in the middle is

$\begin{aligned} 2a+2b-39 &=25, \\ b-a+1 &=13. \end{aligned}$

Thus $a+b=32$ and $b-a=12$ , so $a=10$ and $b=22$ . Therefore $13$ sheets were borrowed.

Thus, B is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 22

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 22 en otros años