Question

La rana Frieda empieza una serie de saltos en una cuadrícula de $3 \times 3$ casillas, moviéndose una casilla en cada salto y eligiendo al azar la dirección de cada salto: arriba, abajo, izquierda o derecha. No salta en diagonal. Cuando la dirección de un salto la sacaría de la cuadrícula, Frieda "da la vuelta" y salta al borde opuesto. Por ejemplo, si Frieda empieza en la casilla central y hace dos saltos "hacia arriba", el primer salto la colocaría en la casilla central de la fila superior, y el segundo salto haría que Frieda saltara al borde opuesto, aterrizando en la casilla central de la fila inferior.

Supongamos que Frieda empieza en la casilla central, hace como máximo cuatro saltos al azar y deja de saltar si cae en una casilla de esquina. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a una casilla de esquina en uno de los cuatro saltos?

Frieda the frog begins a sequence of hops on a $3 \times 3$ grid of squares, moving one square on each hop and choosing at random the direction of each hop -- up, down, left, or right. She does not hop diagonally. When the direction of a hop would take Frieda off the grid, she "wraps around" and jumps to the opposite edge. For example, if Frieda begins in the center square and makes two hops "up", the first hop would place her in the top row middle square, and the second hop would cause Frieda to jump to the opposite edge, landing in the bottom row middle square.

Suppose Frieda starts from the center square, makes at most four hops at random, and stops hopping if she lands on a corner square. What is the probability that she reaches a corner square on one of the four hops?

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{25}{32}$

$\dfrac{13}{16}$

Solución:

Clasifica una casilla como $M$ para el centro, $E$ para una casilla de borde que no es esquina, y $C$ para una esquina. Frieda empieza en $M$ , y el primer salto siempre la lleva a una $E$ .

Desde una casilla de borde, las probabilidades de moverse a $C,E,M$ son $\frac12,\frac14,\frac14$ , respectivamente. Desde $M$ , el siguiente salto siempre va a una $E$ .

Ahora cuenta los posibles patrones de primer contacto dentro de cuatro saltos:

$EC:\quad 1\cdot\frac12=\frac12,$

$EEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot\frac12=\frac18,$

$EEEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot\frac14\cdot\frac12=\frac1{32},$

$EMEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot1\cdot\frac12=\frac18.$

Al sumar se obtiene

$\frac12+\frac18+\frac1{32}+\frac18=\frac{25}{32}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Classify a square as $M$ for the center, $E$ for a non-corner edge square, and $C$ for a corner. Frieda starts at $M$ , and the first hop always takes her to an $E$ .

From an edge square, the probabilities of moving to $C,E,M$ are $\frac12,\frac14,\frac14$ , respectively. From $M$ , the next hop always goes to an $E$ .

Now count the possible first-hit patterns within four hops:

$EC:\quad 1\cdot\frac12=\frac12,$

$EEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot\frac12=\frac18,$

$EEEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot\frac14\cdot\frac12=\frac1{32},$

$EMEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot1\cdot\frac12=\frac18.$

Adding gives

$\frac12+\frac18+\frac1{32}+\frac18=\frac{25}{32}.$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años