Sea
BD=x, de modo que
CD=14−x. Al aplicar el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos
ABD y
ACD, obtenemos
132−x2=152−(14−x)2. Por tanto,
BD=5,
CD=9 y
AD=12.
Esto produce el siguiente diagrama:
Como
AD⊥BC y
DE⊥AC, tenemos
∠ADE=∠ACD. Además,
∠AFB=∠ADB=90∘, por lo que
A,B,D,F son concíclicos. Entonces
∠ABF=∠ADF=∠ACD. En el triángulo rectángulo
ACD,
cos(∠ACD)=53 y
sin(∠ACD)=54. Por consiguiente, en el triángulo rectángulo
ABF,
BFAF=13⋅53,=13⋅54.Por el teorema de Ptolomeo,
AB⋅DF+DB⋅AF=BF⋅AD. Por tanto,
13⋅DF+5(13⋅54)=12(13⋅53).Al dividir entre
13, obtenemos
DF+4=536, así que
DF=516. Por tanto,
m+n=21, y la respuesta correcta es
B.
Let
BD=x, so
CD=14−x. Applying the Pythagorean Theorem to right triangles
ABD and
ACD gives
132−x2=152−(14−x)2. Thus
BD=5,
CD=9, and
AD=12.
This yields the following diagram:
Because
AD⊥BC and
DE⊥AC, we have
∠ADE=∠ACD. Also,
∠AFB=∠ADB=90∘, so
A,B,D,F are concyclic. Hence
∠ABF=∠ADF=∠ACD. In right triangle
ACD,
cos(∠ACD)=53 and
sin(∠ACD)=54. Therefore, in right triangle
ABF,
BFAF=13⋅53,=13⋅54.By Ptolemy’s Theorem, we get
AB⋅DF+DB⋅AF=BF⋅AD. Therefore,
13⋅DF+5(13⋅54)=12(13⋅53).Dividing by
13 gives
DF+4=536, so
DF=516. Thus
m+n=21, and the correct answer is
B .
