Question

En el $\triangle ABC,$ $AB=13,$ $BC=14,$ y $CA=15.$ Los puntos distintos $D,$ $E,$ y $F$ están en los segmentos $\overline{BC},$ $\overline{CA},$ y $\overline{DE},$ respectivamente, de modo que $\overline{AD}\perp\overline{BC},$ $\overline{DE}\perp\overline{AC},$ y $\overline{AF}\perp\overline{BF}.$ La longitud del segmento $\overline{DF}$ se puede escribir como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

In triangle $\triangle ABC,$ $AB=13,$ $BC=14,$ and $CA=15.$ Distinct points $D,$ $E,$ and $F$ lie on segments $\overline{BC},$ $\overline{CA},$ and $\overline{DE},$ respectively, such that $\overline{AD}\perp\overline{BC},$ $\overline{DE}\perp\overline{AC},$ and $\overline{AF}\perp\overline{BF}.$ The length of segment $\overline{DF}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

Solución:

Primero, podemos deducir que $BD =5, AD = 12, CD = 9$ inspeccionando ternas pitagóricas.

Esto produce el siguiente diagrama:

Luego, obtenemos $\angle ADE = \angle ACD$ por la semejanza de $\triangle ADC$ y $\triangle AED .$ Como $\triangle ABF$ y $\triangle ADF$ son ambos triángulos rectángulos, ambos tienen circunferencias circunscritas con diámetro $AB,$ lo que hace que $ABDF$ sea cíclico. Así, $\angle ABF = \angle ADF = \angle ACD,$ lo que da $\cos (\angle ABF) = \dfrac 35,$ $\sin (\angle ABF) = \dfrac 45 .$ Por lo tanto, $AF = \dfrac 35 \cdot 13,$ $BF = \dfrac 45 \cdot 13.$

Por el teorema de Ptolomeo, obtenemos $\begin{aligned} &AB \cdot DF + DB \cdot AF \\ &= BF\cdot AD . \end{aligned}$ Por lo tanto, $13\cdot DF + 5\cdot 13\dfrac 45 =12 \cdot 13\dfrac 35 .$

Esto se simplifica a $DF + 5\cdot \dfrac 45 = 12 \cdot \dfrac 35 ,$ es decir $DF + 4 = \dfrac {36}5.$ Por lo tanto, $DF=\dfrac {16}5,$ lo que da $m+n=21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

First, we can deduce that $BD =5, AD = 12, CD = 9$ by inspecting Pythagorean triples.

This yields the following diagram:

Then, we get $\angle ADE = \angle ACD$ by the similarity of $\triangle ADC$ and $\triangle AED .$ Since $\triangle ABF$ and $\triangle ADF$ are both right triangles, they both have circumcircles with diameter $AB,$ making $ABDF$ cyclic. Thus, $\angle ABF = \angle ADF = \angle ACD,$ making $\cos (\angle ABF) = \dfrac 35,$ $\sin (\angle ABF) = \dfrac 45 .$ As such, $AF = \dfrac 35 \cdot 13,$ $BF = \dfrac 45 \cdot 13.$

By Ptolemy's Theorem, we get $\begin{aligned} &AB \cdot DF + DB \cdot AF \\ &= BF\cdot AD . \end{aligned}$ Therefore, $13\cdot DF + 5\cdot 13\dfrac 45 =12 \cdot 13\dfrac 35 .$

This makes $DF + 5\cdot \dfrac 45 = 12 \cdot \dfrac 35 ,$ so $DF + 4 = \dfrac {36}5.$ As such, $DF=\dfrac {16}5,$ making $m+n=21.$

Thus, the correct answer is B .

2013 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años