Question

Una cuadrícula rectangular de cuadrados tiene $141$ filas y $91$ columnas. Cada cuadrado tiene espacio para dos números. Horace y Vera llenan cada uno la cuadrícula poniendo los números del $1$ al $141 \times 91 = 12{,}831$ en los cuadrados. Horace llena la cuadrícula horizontalmente: pone $1$ hasta $91$ en orden de izquierda a derecha en la fila $1,$ pone $92$ hasta $182$ en la fila $2$ en orden de izquierda a derecha, y continúa de manera similar hasta la fila $141.$ Vera llena la cuadrícula verticalmente: pone $1$ hasta $141$ en orden de arriba a abajo en la columna $1,$ luego $142$ hasta $282$ en la columna $2$ en orden de arriba a abajo, y continúa de manera similar hasta la columna $91.$ ¿Cuántos cuadrados reciben dos copias del mismo número?

A rectangular grid of squares has $141$ rows and $91$ columns. Each square has room for two numbers. Horace and Vera each fill in the grid by putting the numbers from $1$ through $141 \times 91 = 12{,}831$ into the squares. Horace fills the grid horizontally: he puts $1$ through $91$ in order from left to right into row $1,$ puts $92$ through $182$ into row $2$ in order from left to right, and continues similarly through row $141.$ Vera fills the grid vertically: she puts $1$ through $141$ in order from top to bottom into column $1,$ then $142$ through $282$ into column $2$ in order from top to bottom, and continues similarly through column $91.$ How many squares get two copies of the same number?

$7$

$10$

$11$

$12$

$19$

Solución:

En la fila $i,$ columna $j,$ Horace escribe $91(i - 1) + j$ y Vera escribe $141(j - 1) + i.$ Iguálalos y simplifica para obtener $9i - 14j = -5,$ así que $i = \tfrac{14j - 5}{9},$ un entero exactamente cuando $j \equiv 1 \pmod 9.$ Para $j = 1, 10, 19, \ldots, 91,$ eso son $11$ valores, y $i$ recorre $1, 15, 29, \ldots, 141,$ todos dentro del rango. Así que $11$ cuadrados coinciden. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

At row $i,$ column $j,$ Horace writes $91(i - 1) + j$ and Vera writes $141(j - 1) + i.$ Set them equal and simplify to get $9i - 14j = -5,$ so $i = \tfrac{14j - 5}{9},$ an integer exactly when $j \equiv 1 \pmod 9.$ For $j = 1, 10, 19, \ldots, 91,$ that's $11$ values, and $i$ runs $1, 15, 29, \ldots, 141,$ all within range. So $11$ squares match. Thus, C is the correct answer.

2025 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años