Question

Para cada entero positivo $n,$ sea $f_1(n)$ el doble del número de divisores enteros positivos de $n,$ y para $j \ge 2,$ sea $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).$ ¿Para cuántos valores de $n \le 50$ se cumple $f_{50}(n) = 12$ ?

For each positive integer $n,$ let $f_1(n)$ be twice the number of positive integer divisors of $n,$ and for $j \ge 2,$ let $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).$ For how many values of $n \le 50$ is $f_{50}(n) = 12?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Solución:

El valor $12$ es un punto fijo de la función, ya que $12$ tiene $6$ divisores positivos y por lo tanto $f_1(12)=12$ .

Primero encuentra todos los $n\le50$ con $f_1(n)=12$ , es decir, con $n$ que tiene $6$ divisores. Estos son $12,18,20,28,32,44,45,50.$

Ahora comprueba si $f_1(n)$ puede ser uno de estos valores antes de llegar a $12$ . Como $f_1(n)$ es el doble de un conteo de divisores, las únicas posibilidades útiles en esa lista son $18$ y $20$ , es decir, $n$ tiene $9$ o $10$ divisores.

Para $n\le50$ , las posibilidades adicionales son $36$ , que tiene $9$ divisores, y $48$ , que tiene $10$ divisores. Por lo tanto, hay $8+2=10$ valores de $n$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The value $12$ is fixed by the function, since $12$ has $6$ positive divisors and therefore $f_1(12)=12$ .

First find all $n\le50$ with $f_1(n)=12$ , meaning $n$ has $6$ divisors. These are $12,18,20,28,32,44,45,50.$

Now check whether $f_1(n)$ can be one of these values before reaching $12$ . Since $f_1(n)$ is twice a divisor count, the only useful possibilities in that list are $18$ and $20$ , meaning $n$ has $9$ or $10$ divisors.

For $n\le50$ , the additional possibilities are $36$ , which has $9$ divisors, and $48$ , which has $10$ divisors. Therefore there are $8+2=10$ values of $n$ .

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años