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2021 AMC 10A Fall Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2021 AMC 10A Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 10A Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

Para cada entero positivo n,n, sea f1(n)f_1(n) el doble del número de divisores enteros positivos de n,n, y para j≥2,j \ge 2, sea fj(n)=f1(fj−1(n)).f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)). ¿Para cuántos valores de n≤50n \le 50 se cumple f50(n)=12f_{50}(n) = 12?
For each positive integer n,n, let f1(n)f_1(n) be twice the number of positive integer divisors of n,n, and for j≥2,j \ge 2, let fj(n)=f1(fj−1(n)).f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)). For how many values of n≤50n \le 50 is f50(n)=12?f_{50}(n) = 12?
77
88
99
1010
1111
Respuesta: D
Conceptos:conteo de factoresrecursióntrabajar hacia atrás
Nivel de dificultad: 2130
Pista pequeña:
f1(n)=12f_1(n)=12 significa que nn tiene 66 divisores.
f1(n)=12f_1(n)=12 means nn has 66 divisors
Pista grande:
Comprueba también f1(n)=18f_1(n)=18 o 20,20, ya que estos se aplican a 1212 en el siguiente paso.
Also check f1(n)=18f_1(n)=18 or 20,20, since those map to 1212 next
Solución:
El valor 1212 es un punto fijo de la función, ya que 1212 tiene 66 divisores positivos y por lo tanto f1(12)=12.f_1(12)=12.
Primero encuentra todos los n≤50n\le50 con f1(n)=12,f_1(n)=12, es decir, con nn que tiene 66 divisores. Estos son 12,18,20,28,32,44,45,50.12,18,20,28,32,44,45,50.
Ahora comprueba si f1(n)f_1(n) puede ser uno de estos valores antes de llegar a 12.12. Como f1(n)f_1(n) es el doble de un conteo de divisores, las únicas posibilidades útiles en esa lista son 1818 y 20,20, es decir, nn tiene 99 o 1010 divisores.
Para n≤50,n\le50, las posibilidades adicionales son 36,36, que tiene 99 divisores, y 48,48, que tiene 1010 divisores. Por lo tanto, hay 8+2=108+2=10 valores de n.n.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
The value 1212 is fixed by the function, since 1212 has 66 positive divisors and therefore f1(12)=12.f_1(12)=12.
First find all n≤50n\le50 with f1(n)=12,f_1(n)=12, meaning nn has 66 divisors. These are 12,18,20,28,32,44,45,50.12,18,20,28,32,44,45,50.
Now check whether f1(n)f_1(n) can be one of these values before reaching 12.12. Since f1(n)f_1(n) is twice a divisor count, the only useful possibilities in that list are 1818 and 20,20, meaning nn has 99 or 1010 divisors.
For n≤50,n\le50, the additional possibilities are 36,36, which has 99 divisors, and 48,48, which has 1010 divisors. Therefore there are 8+2=108+2=10 values of n.n.
Thus, D is the correct answer.
Problema 22#22
Examen completo
Problema 24#24

El Problema 23 en otros años

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