Question

En el hexágono regular $ABCDEF,$ se eligen los puntos $W$ , $X$ , $Y$ , $Z$ sobre los lados $\overline{BC}$ , $\overline{CD}$ , $\overline{EF}$ , $\overline{FA}$ respectivamente, de modo que las rectas $AB$ , $ZW$ , $YX$ , $ED$ sean paralelas y estén igualmente espaciadas. ¿Cuál es la razón entre el área del hexágono $WCXYFZ$ y el área del hexágono $ABCDEF$ ?

In regular hexagon $ABCDEF,$ points $W,$ $X,$ $Y,$ and $Z$ are chosen on sides $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ $\overline{EF},$ and $\overline{FA}$ respectively, so lines $AB,$ $ZW,$ $YX,$ and $ED$ are parallel and equally spaced. What is the ratio of the area of hexagon $WCXYFZ$ to the area of hexagon $ABCDEF?$

$\ \dfrac{1}{3}$

$\ \dfrac{10}{27}$

$\ \dfrac{11}{27}$

$\ \dfrac{4}{9}$

$\ \dfrac{13}{27}$

Solución:

Considera el siguiente diagrama:

La figura es simétrica, así que podemos hallar la razón entre las áreas de $EFCD$ y el área de $ZFCW.$ Para esto, podemos prolongar $FE$ y $CD$ hasta que se encuentren, y sea ese punto $P.$

Además, la distancia de $ED$ a $ZW$ es la misma que la distancia de $ZW$ a $YX,$ y la distancia de $ZW$ a $YX$ es el doble de la distancia de $ZW$ a $FC.$

Por lo tanto, la distancia de $ED$ a $ZW$ es el doble de la distancia de $ZW$ a $FC.$ Sea la altura desde $P$ hasta $ED$ igual a $s.$ Entonces, si la altura desde $P$ hasta $ZW$ es $s+d,$ la altura desde $P$ hasta $CF$ es $s+1.5d$ debido a la razón. Luego, como $\triangle FPC \sim \triangle PED,$ $\dfrac{FP}{EP} = \dfrac{s+1.5d}{s}.$ Además, como $FE= ED = PE$ y $PED$ es equilátero, tenemos $2s = s+1.5d,$ y por lo tanto $s=1.5d.$

Así, la razón entre las longitudes de los lados de $\triangle PED$ y $\triangle PZW$ es $\frac 53$ , lo que hace que la razón entre las áreas sea $\frac{25}9.$ Además, la razón entre las longitudes de los lados de $\triangle PED$ y $\triangle PFC$ es $2,$ lo que hace que la razón entre las áreas sea $4.$

Esto hace que el área de $EDCF$ sea $3$ veces el área de $\triangle PED$ y que el área de $EDWZ$ sea $\frac{16}{9}$ veces el área de $\triangle PED$ . Por lo tanto, el área de $ZWCF$ es $\frac{11}{9}$ veces el área de $\triangle PED.$

Así, la razón entre $ZWCF$ y $EDCF$ es $\dfrac{\frac{11}9}{3} = \dfrac{11}{27} .$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Consider the following diagram:

The shape is symmetric, so we can find the ratio of the areas of $EFCD$ to the area of $ZFCW.$ For this, we can extend $FE$ and $CD$ until they meet each other, and let this point be $P.$

Also, the distance from $ED$ to $ZW$ is the same as the distance from $ZW$ to $YX,$ and the distance from $ZW$ to $YX$ is twice the distance as the distance from $ZW$ to $FC.$

Thus, the distance from $ED$ to $ZW$ is twice the distance as the distance from $ZW$ to $FC.$ Let the altitude from $P$ to $ED$ be $s.$ Then, if the altitude from $P$ to $ZW$ is $s+d,$ the altitude from $P$ to $CF$ is $s+1.5d$ because of the ratio. Then, since $\triangle FPC \sim \triangle PED,$ $\dfrac{FP}{EP} = \dfrac{s+1.5d}{s}.$ Also, since $FE= ED = PE$ as $PED$ is equilateral, we have $2s = s+1.5d,$ and so $s=1.5d.$

Thus, the ratio between side lengths of $\triangle PED$ and $\triangle PZW$ is $\frac 53$ which makes the ratio between the area $\frac{25}9.$ Also the ratio between side lengths of $\triangle PED$ and $\triangle PFC$ is $2,$ which makes the ratio between the area $4.$

This makes the area of $EDCF$ $3$ times the area of $\triangle PED$ and the area of $EDWZ$ $\frac{16}{9}$ times the area of $\triangle PED$ Therefore, the area of $ZWCF$ is $\frac{11}{9}$ times the area of $\triangle PED.$

Thus, the ratio between $ZWCF$ and $EDCF$ is $\dfrac{\frac{11}9}{3} = \dfrac{11}{27} .$

Thus, the correct answer is C .

2016 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años