Haz que la bisectriz de $\angle B$ corte a $AC$ en $D;$ el Teorema de la Bisectriz da $AD = 48$ y $CD = 27$.

Muestra que $BD = 48,$ así que $\triangle ADB$ es isósceles; luego persigue ángulos para hallar que $\triangle CDP$ es isósceles con $PD = CD$.

Sea $D$ la intersección de la bisectriz de $\angle B$ con $AC.$ Por el teorema de la bisectriz, $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{80}{45},$ y como $AC = 75,$ obtenemos $AD = 48$ y $CD = 27.$ Los triángulos $BCD$ y $ACB$ comparten $\angle C,$ y los lados adyacentes tienen la razón común $\tfrac{45}{75}=\tfrac{27}{45}=\tfrac35,$ así que son semejantes por LAL. Entonces $BD=\tfrac35\cdot80=48=AD,$ por lo que $\triangle ADB$ es isósceles. Sea $\angle DAB=\angle DBA=\theta.$ Como la altura por $C$ es perpendicular a $AB,$ tanto $\angle DPC$ como $\angle DCP$ son $90^\circ-\theta.$ Así, $\triangle CDP$ es isósceles y $PD=CD=27.$ Como $P$ está en $BD,$ tenemos $BP=BD-PD$ $=48-27=21.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.