Question

El triángulo $ABC$ tiene longitudes de lado $AB = 80,$ $BC = 45,$ y $AC = 75.$ La bisectriz de $\angle B$ y la altura sobre el lado $AB$ se cortan en el punto $P.$ ¿Cuánto vale $BP$ ?

Triangle $ABC$ has side lengths $AB = 80,$ $BC = 45,$ and $AC = 75.$ The bisector of $\angle B$ and the altitude to side $AB$ intersect at point $P.$ What is $BP?$

$18$

$19$

$20$

$21$

$22$

Solución:

Haz que la bisectriz de $\angle B$ corte a $AC$ en $D.$ Por el Teorema de la Bisectriz, $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{80}{45},$ y como $AC = 75,$ obtenemos $AD = 48$ y $CD = 27.$ Los triángulos $BCD$ y $ACB$ comparten $\angle C,$ con lados en razón $\tfrac{45}{75} = \tfrac35,$ así que son semejantes. Eso da $BD = \tfrac35 \cdot 80 = 48,$ que es igual a $AD.$ Así que $\triangle ADB$ es isósceles. Escribiendo $\angle DAB = \angle DBA = \theta,$ una breve persecución de ángulos muestra que $\angle DPC = \angle DCP,$ por lo que $\triangle CDP$ también es isósceles, con $PD = CD = 27.$ Como $P$ está en el segmento $BD,$ $BP = BD - PD$ $= 48 - 27 = 21.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the bisector of $\angle B$ hit $AC$ at $D.$ By the Angle Bisector Theorem, $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{80}{45},$ and since $AC = 75,$ we get $AD = 48$ and $CD = 27.$ Triangles $BCD$ and $ACB$ share $\angle C,$ with sides in ratio $\tfrac{45}{75} = \tfrac35,$ so they're similar. That gives $BD = \tfrac35 \cdot 80 = 48,$ which equals $AD.$ So $\triangle ADB$ is isosceles. Writing $\angle DAB = \angle DBA = \theta,$ a short angle chase shows $\angle DPC = \angle DCP,$ so $\triangle CDP$ is isosceles too, with $PD = CD = 27.$ Since $P$ is on segment $BD,$ $BP = BD - PD$ $= 48 - 27 = 21.$ Thus, D is the correct answer.

2025 AMC 10A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años