Question

Siete estudiantes cuentan de $1$ a $1000$ de la siguiente manera:

• Alice dice todos los números, excepto que omite el número del medio en cada grupo de tres números consecutivos. Es decir, Alice dice $1,$ $3,$ $4,$ $6,$ $7,$ $9, \ldots,$ $997,$ $999,$ $1000.$

• Barbara dice todos los números que Alice no dice, excepto que ella también omite el número del medio en cada grupo de tres números consecutivos.

• Candice dice todos los números que ni Alice ni Barbara dicen, excepto que ella también omite el número del medio en cada grupo de tres números consecutivos.

• Debbie, Eliza y Fatima dicen todos los números que no dice ninguno de los estudiantes cuyo nombre empieza antes que el suyo en el alfabeto, excepto que cada una también omite el número del medio en cada uno de sus grupos de tres números consecutivos.

• Finalmente, George dice el único número que nadie más dice.

¿Qué número dice George?

Seven students count from $1$ to $1000$ as follows:

• Alice says all the numbers, except she skips the middle number in each consecutive group of three numbers. That is, Alice says $1,$ $3,$ $4,$ $6,$ $7,$ $9, \ldots,$ $997,$ $999,$ $1000.$

• Barbara says all of the numbers that Alice doesn't say, except she also skips the middle number in each consecutive group of three numbers.

• Candice says all of the numbers that neither Alice nor Barbara says, except she also skips the middle number in each consecutive group of three numbers.

• Debbie, Eliza, and Fatima say all of the numbers that none of the students with the first names beginning before theirs in the alphabet say, except each also skips the middle number in each of her consecutive groups of three numbers.

• Finally, George says the only number that no one else says.

What number does George say?

$37$

$242$

$365$

$728$

$998$

Solución:

Podemos recorrer todas las iteraciones para hallar lo que queda.

Alice no dice los números $2, 5, 8, 11, 14, 17, \ldots, 998.$

Después de que Barbara dice sus números, los que quedan son $5, 14, 23, 32, 41, \ldots, 995.$

Nota que ambas son progresiones aritméticas en las que la diferencia común aumenta por un múltiplo de $3.$

Este patrón continúa: los números que quedan después de que Candice dice los suyos son $14, 41, 68, 95, \ldots, 986.$

Luego, después de Debbie, quedan $41, 122, 203, \ldots, 959$ y después de Eliza, quedan $122, 365, 608, 878.$

Finalmente, el único número que queda después de que Fatima participa es $365,$ que es el número que George tendrá que decir.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can walk through all the iterations to find what is left.

Alice does not say the numbers $2, 5, 8, 11, 14, 17, \ldots, 998.$

After Barbara says her numbers, the remaining ones are $5, 14, 23, 32, 41, \ldots, 995.$

Note that both of these are arithmetic sequences where the common difference is increased by a multiple of $3.$

This pattern continues as the numbers remaining after Candice says hers are $14, 41, 68, 95, \ldots, 986.$

Then after Debbie, they are $41, 122, 203, \ldots, 959$ and after Eliza, they are $122, 365, 608, 878.$

Finally, the only number left after Fatima goes is $365,$ which is the number that George will have to say.

Thus, C is the correct answer.

2011 AMC 10A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años