Question

Cada uno de los $5$ lados y las $5$ diagonales de un pentágono regular se colorean al azar e independientemente de rojo o azul con igual probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que exista un triángulo cuyos vértices estén entre los vértices del pentágono tal que todos sus lados tengan el mismo color?

Each of the $5$ sides and the $5$ diagonals of a regular pentagon are randomly and independently colored red or blue with equal probability. What is the probability that there will be a triangle whose vertices are among the vertices of the pentagon such that all of its sides have the same color?

$\dfrac 23$

$\dfrac{105}{128}$

$\dfrac{125}{128}$

$\dfrac{253}{256}$

$1$

Solución:

Contamos el complemento: las coloraciones de las $10$ aristas de $K_5$ sin ningún triángulo monocromático.

En cualquier vértice, si $3$ aristas incidentes tuvieran el mismo color, entonces las aristas entre sus otros extremos tendrían que ser todas del otro color, formando un triángulo monocromático. Así, cada vértice tiene exactamente $2$ aristas rojas y $2$ azules incidentes.

Entonces las aristas rojas forman un grafo $2$ -regular sobre $5$ vértices, que debe ser un $5$ -ciclo. El número de $5$ -ciclos etiquetados es $\frac{(5-1)!}{2}=12$ .

Hay $2^{10}=1024$ coloraciones en total, así que la probabilidad buscada es $1-\frac{12}{1024}=\frac{253}{256}.$

Por lo tanto, la respuesta es D.

Count the complement: colorings of the $10$ edges of $K_5$ with no monochromatic triangle.

At any vertex, if $3$ incident edges had the same color, then the edges among their other endpoints would all have to be the other color, making a monochromatic triangle. Thus each vertex has exactly $2$ red and $2$ blue incident edges.

So the red edges form a $2$ -regular graph on $5$ vertices, which must be a $5$ -cycle. The number of labeled $5$ -cycles is $\frac{(5-1)!}{2}=12$ .

There are $2^{10}=1024$ total colorings, so the desired probability is $1-\frac{12}{1024}=\frac{253}{256}.$

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Fall Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años