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2021 AMC 10B Fall Problema 22

Intenta el Problema 22 del 2021 AMC 10B Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 10B Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

Para cada entero n≥2,n\ge2, sea SnS_n la suma de todos los productos jk,jk, donde jj y kk son enteros y 1≤j<k≤n.1\le j<k\le n. ¿Cuál es la suma de los 1010 menores valores de nn para los cuales SnS_n es divisible entre 33?
For each integer n≥2,n\ge2, let SnS_n be the sum of all products jk,jk, where jj and kk are integers and 1≤j<k≤n.1\le j<k\le n. What is the sum of the 1010 least values of nn such that SnS_n is divisible by 3?3?
 196 \ 196
 197 \ 197
 198 \ 198
 199 \ 199
 200 \ 200
Respuesta: B
Conceptos:aritmética modularsumatoriareconocimiento de patrones
Nivel de dificultad: 1950
Pista pequeña:
Halla cómo cambia SnS_n cuando se agregan los términos con k=nk=n.
Find how SnS_n changes when terms with k=nk=n are added
Pista grande:
Solo n≡2(mod3)n\equiv2\pmod3 cambia el valor módulo 33.
Only n≡2(mod3)n\equiv2\pmod3 changes the value modulo 33
Solución:
Al pasar de Sn−1S_{n-1} a Sn,S_n, los nuevos términos son jnjn para 1≤j<n.1\le j\lt n. n(1+2+⋯+(n−1))=n2(n−1)2. \begin{gathered} n(1+2+\cdots+(n-1))\\ =\frac{n^2(n-1)}2. \end{gathered}
Módulo 3,3, este incremento es 00 cuando n≡0n\equiv0 o 1(mod3),1\pmod3, y es 22 cuando n≡2(mod3).n\equiv2\pmod3.
Como S2=2,S_2=2, la sucesión se vuelve divisible entre 33 tras la tercera aparición de un número congruente con 2(mod3),2\pmod3, es decir en n=8.n=8. Entonces SnS_n permanece divisible entre 33 para n=8,9,10,n=8,9,10, y el mismo patrón se repite cada 99 en n.n.
Los diez menores valores son 8,9,10,17,18,19,26,27,28,35.8,9,10,17,18,19,26,27,28,35. Su suma es 197.197.
Por lo tanto, la respuesta es B.
When passing from Sn−1S_{n-1} to Sn,S_n, the new terms are jnjn for 1≤j<n.1\le j\lt n. Their sum is n(1+2+⋯+(n−1))=n2(n−1)2. \begin{gathered} n(1+2+\cdots+(n-1))\\ =\frac{n^2(n-1)}2. \end{gathered}
Modulo 3,3, this increment is 00 when n≡0n\equiv0 or 1(mod3),1\pmod3, and is 22 when n≡2(mod3).n\equiv2\pmod3.
Since S2=2,S_2=2, the sequence becomes divisible by 33 after the third occurrence of a number congruent to 2(mod3),2\pmod3, namely at n=8.n=8. Then SnS_n stays divisible by 33 for n=8,9,10,n=8,9,10, and the same pattern repeats every 99 in n.n.
The ten least values are 8,9,10,17,18,19,26,27,28,35.8,9,10,17,18,19,26,27,28,35. Their sum is 197.197.
Thus, the answer is B .
Problema 21#21
Examen completo
Problema 23#23

El Problema 22 en otros años

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