Question

Para cada entero $n\geq 2 ,$ sea $S_n$ la suma de todos los productos $jk ,$ donde $j$ y $k$ son enteros y $1\leq j < k\leq n .$ ¿Cuál es la suma de los 10 menores valores de $n$ tales que $S_n$ es divisible entre $3$ ?

For each integer $n\geq 2 ,$ let $S_n$ be the sum of all products $jk ,$ where $j$ and $k$ are integers and $1\leq j < k\leq n .$ What is the sum of the 10 least values of $n$ such that $S_n$ is divisible by $3 ?$

$\ 196$

$\ 197$

$\ 198$

$\ 199$

$\ 200$

Solución:

Al pasar de $S_{n-1}$ a $S_n$ , los nuevos términos son $jn$ para $1\le j\lt n$ . $\begin{gathered} n(1+2+\cdots+(n-1))\\ =\frac{n^2(n-1)}2. \end{gathered}$

Módulo $3$ , este incremento es $0$ cuando $n\equiv0$ o $1\pmod3$ , y es $2$ cuando $n\equiv2\pmod3$ .

Como $S_2=2$ , la sucesión se vuelve divisible entre $3$ tras la tercera aparición de un número congruente con $2\pmod3$ , es decir en $n=8$ . Entonces $S_n$ permanece divisible entre $3$ para $n=8,9,10$ , y el mismo patrón se repite cada $9$ en $n$ .

Los diez menores valores son $8,9,10,17,18,19,26,27,28,35$ . Su suma es $197$ .

Por lo tanto, la respuesta es B.

When passing from $S_{n-1}$ to $S_n$ , the new terms are $jn$ for $1\le j\lt n$ . Their sum is $\begin{gathered} n(1+2+\cdots+(n-1))\\ =\frac{n^2(n-1)}2. \end{gathered}$

Modulo $3$ , this increment is $0$ when $n\equiv0$ or $1\pmod3$ , and is $2$ when $n\equiv2\pmod3$ .

Since $S_2=2$ , the sequence becomes divisible by $3$ after the third occurrence of a number congruent to $2\pmod3$ , namely at $n=8$ . Then $S_n$ stays divisible by $3$ for $n=8,9,10$ , and the same pattern repeats every $9$ in $n$ .

The ten least values are $8,9,10,17,18,19,26,27,28,35$ . Their sum is $197$ .

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Fall Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años