Question

Raashan, Sylvia y Ted juegan al siguiente juego. Cada uno comienza con $\$1.$ Suena una campana cada $15$ segundos, momento en el que cada jugador que actualmente tiene dinero elige de forma independiente y al azar a uno de los otros dos jugadores y le da $\$1$ a ese jugador. ¿Cuál es la probabilidad de que, después de que la campana haya sonado $2019$ veces, cada jugador tenga $\$1$ ?

(Por ejemplo, Raashan y Ted pueden decidir cada uno dar $\$1$ a Sylvia, y Sylvia puede decidir dar su dólar a Ted; en ese momento Raashan tendrá $\$0,$ Sylvia tendrá $\$2,$ y Ted tendrá $\$1,$ y ese es el final de la primera ronda de juego. En la segunda ronda Raashan no tiene dinero para dar, pero Sylvia y Ted podrían elegirse mutuamente para darse su $\$1$ , y las cantidades serán las mismas al final de la segunda ronda.)

Raashan, Sylvia, and Ted play the following game. Each starts with $\$1.$ A bell rings every $15$ seconds, at which time each of the players who currently have money simultaneously chooses one of the other two players independently and at random and gives $\$1$ to that player. What is the probability that after the bell has rung $2019$ times, each player will have $\$1?$

(For example, Raashan and Ted may each decide to give $\$1$ to Sylvia, and Sylvia may decide to give her dollar to Ted, at which point Raashan will have $\$0,$ Sylvia will have $\$2,$ and Ted will have $\$1,$ and that is the end of the first round of play. In the second round Raashan has no money to give, but Sylvia and Ted might choose each other to give their $\$1$ to, and the holdings will be the same at the end of the second round.)

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Solución:

Solo hay dos posibles configuraciones de dinero salvo el orden: $(1,1,1)$ y $(2,1,0)$ . Desde $(1,1,1)$ , el siguiente estado vuelve a ser $(1,1,1)$ exactamente cuando los tres jugadores pasan dólares en la misma dirección cíclica, lo que tiene probabilidad $2\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac14$ .

Desde $(2,1,0)$ , solo los jugadores con dinero dan un dólar. El siguiente estado es $(1,1,1)$ exactamente cuando el jugador con $2$ dólares le da al jugador con $0$ dólares y el jugador con $1$ dólar le da al jugador con $2$ dólares, también con probabilidad $\dfrac14$ .

Por lo tanto, sin importar el estado después de $2018$ campanadas, la probabilidad de que el estado después de la siguiente campanada sea $(1,1,1)$ es $\dfrac14$ . Así, B es la respuesta correcta.

There are only two possible money configurations up to order: $(1,1,1)$ and $(2,1,0)$ . From $(1,1,1)$ , the next state is again $(1,1,1)$ exactly when all three players pass dollars in the same cyclic direction, which has probability $2\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac14$ .

From $(2,1,0)$ , only the players with money give a dollar. The next state is $(1,1,1)$ exactly when the player with $2$ dollars gives to the player with $0$ dollars and the player with $1$ dollar gives to the player with $2$ dollars, also with probability $\dfrac14$ .

Therefore, regardless of the state after $2018$ rings, the probability that the state after the next ring is $(1,1,1)$ is $\dfrac14$ . Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 10B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años