Question

Sea

\triangle XOY

un triángulo rectángulo con

m\angle XOY = 90^\circ.

Sean

M

y

N

los puntos medios de los catetos

OX

y

OY,

respectivamente. Dado que

XN = 19

y

YM = 22,

¿cuánto vale

XY

?

Let

\triangle XOY

be a right-angled triangle with

m\angle XOY = 90^\circ.

Let

M

and

N

be the midpoints of legs

OX

and

OY,

respectively. Given that

XN = 19

and

YM = 22,

what is

XY?

24

26

28

30

32

Respuesta: B

Conceptos:Teorema de Pitágoras mediana (geometría)sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Sea

OM = a

y

ON = b,

así que

OX = 2a

y

OY = 2b

.

Let

OM = a

and

ON = b,

so

OX = 2a

and

OY = 2b

Pista grande:

Escribe las relaciones pitagóricas para

XN

y

YM,

luego súmalas para hallar

a^2 + b^2

.

Write the Pythagorean relations for

XN

and

YM,

then add them to find

a^2 + b^2

Solución:

Sea

OM = a

y

ON = b,

así que

OX = 2a

y

OY = 2b.

El ángulo recto en

O

da

19^2 = (2a)^2 + b^2

y

22^2 = a^2 + (2b)^2.

Sumando estas,

5(a^2 + b^2) = 19^2 + 22^2 = 845,

así que

a^2 + b^2 = 169

y

MN = \sqrt{a^2 + b^2} = 13.

Como

\triangle XOY \sim \triangle MON

con razón

2,

tenemos

XY = 2\cdot MN = 26.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

OM = a

and

ON = b,

so

OX = 2a

and

OY = 2b.

The right angle at

O

gives

19^2 = (2a)^2 + b^2

and

22^2 = a^2 + (2b)^2.

Adding these,

5(a^2 + b^2) = 19^2 + 22^2 = 845,

so

a^2 + b^2 = 169

and

MN = \sqrt{a^2 + b^2} = 13.

Since

\triangle XOY \sim \triangle MON

with ratio

2,

we have

XY = 2\cdot MN = 26.

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 10B Problema 22

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años