Question

Sea $\triangle XOY$ un triángulo rectángulo con $m\angle XOY = 90^\circ.$ Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los catetos $OX$ y $OY,$ respectivamente. Dado que $XN = 19$ y $YM = 22,$ ¿cuánto vale $XY$ ?

Let $\triangle XOY$ be a right-angled triangle with $m\angle XOY = 90^\circ.$ Let $M$ and $N$ be the midpoints of legs $OX$ and $OY,$ respectively. Given that $XN = 19$ and $YM = 22,$ what is $XY?$

$24$

$26$

$28$

$30$

$32$

Solución:

Sea $OM = a$ y $ON = b,$ así que $OX = 2a$ y $OY = 2b.$ El ángulo recto en $O$ da $19^2 = (2a)^2 + b^2$ $22^2 = a^2 + (2b)^2.$

Sumando estas, $5(a^2 + b^2) = 19^2 + 22^2 = 845,$ así que $a^2 + b^2 = 169$ y $MN = \sqrt{a^2 + b^2} = 13.$

Como $\triangle XOY \sim \triangle MON$ con razón $2,$ tenemos $XY = 2\cdot MN = 26.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $OM = a$ and $ON = b,$ so $OX = 2a$ and $OY = 2b.$ The right angle at $O$ gives $19^2 = (2a)^2 + b^2$ and $22^2 = a^2 + (2b)^2.$

Adding these, $5(a^2 + b^2) = 19^2 + 22^2 = 845,$ so $a^2 + b^2 = 169$ and $MN = \sqrt{a^2 + b^2} = 13.$

Since $\triangle XOY \sim \triangle MON$ with ratio $2,$ we have $XY = 2\cdot MN = 26.$

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 10B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años