Question

Un pastel cúbico con arista de $2$ pulgadas está cubierto de glaseado en los lados y en la parte superior. Se corta verticalmente en tres piezas como se muestra en esta vista superior, donde $M$ es el punto medio de una arista superior. La pieza cuya parte superior es el triángulo $B$ contiene $c$ pulgadas cúbicas de pastel y $s$ pulgadas cuadradas de glaseado. ¿Cuánto vale $c+s$ ?

A cubical cake with edge length $2$ inches is iced on the sides and the top. It is cut vertically into three pieces as shown in this top view, where $M$ is the midpoint of a top edge. The piece whose top is triangle $B$ contains $c$ cubic inches of cake and $s$ square inches of icing. What is $c+s?$

$\dfrac{24}{5}$

$\dfrac{32}{5}$

$8+\sqrt5$

$5+\dfrac{16\sqrt5}{5}$

$10+5\sqrt5$

Solución:

Toma la cara superior como un cuadrado $2\times2$ . El corte desde $M$ hacia la esquina lejana crea el triángulo superior $A$ con catetos $1$ y $2,$ así que su área es $1$ e hipotenusa $\sqrt5.$

El triángulo $B$ es semejante a $A$ pero con hipotenusa $2,$ así que su área es $\left(\dfrac{2}{\sqrt5}\right)^2\cdot1=\dfrac45.$ Como el pastel tiene altura $2,$ el volumen es $c=\dfrac45\cdot2=\dfrac85.$

El glaseado de esta pieza es su parte superior ( $\dfrac45$ ) más la cara lateral completa del cubo con la que limita ( $2\times2=4$ ), así que $s=\dfrac45+4=\dfrac{24}{5}.$ Por lo tanto, $c+s=\dfrac85+\dfrac{24}{5}=\dfrac{32}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Set the top face as a $2\times2$ square. The cut from $M$ toward the far corner creates the top triangle $A$ with legs $1$ and $2,$ so area $1$ and hypotenuse $\sqrt5.$

Triangle $B$ is similar to $A$ but with hypotenuse $2,$ so its area is $\left(\dfrac{2}{\sqrt5}\right)^2\cdot1=\dfrac45.$ Since the cake has height $2,$ the volume is $c=\dfrac45\cdot2=\dfrac85.$

The icing on this piece is its top ( $\dfrac45$ ) plus the full cube side face it borders ( $2\times2=4$ ), so $s=\dfrac45+4=\dfrac{24}{5}.$ Therefore $c+s=\dfrac85+\dfrac{24}{5}=\dfrac{32}{5}.$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 10B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años