Question

En la figura que se muestra abajo, $ABCDE$ es un pentágono regular y $AG=1.$ ¿Cuánto vale $FG + JH + CD$ ?

In the figure shown below, $ABCDE$ is a regular pentagon and $AG=1.$ What is $FG + JH + CD?$ \t\t

$3$

$12-4\sqrt{5}$

$\dfrac{5+2\sqrt{5}}{3}$

$1+\sqrt{5}$

$\dfrac{11+11\sqrt{5}}{10}$

Solución:

Por simetría, $AG=HC=HJ=1$ , y los triángulos $AFG$ y $BGH$ son congruentes, así que $FG=GH$ . Sea $FG=b$ , y sea $CD=d$ .

Los triángulos semejantes en el pentágono dan $\frac1b=1+b$ y $\frac{1+b}{1}=d.$ La primera ecuación es $b^2+b-1=0$ , así que $b=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ . Entonces $d=1+b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

Por lo tanto $\begin{aligned} FG+JH+CD &= b+1+d \\ &= 1+\sqrt{5}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By symmetry, $AG=HC=HJ=1$ , and triangles $AFG$ and $BGH$ are congruent, so $FG=GH$ . Let $FG=b$ , and let $CD=d$ .

The similar triangles in the pentagon give $\frac1b=1+b$ and $\frac{1+b}{1}=d.$ The first equation is $b^2+b-1=0$ , so $b=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ . Then $d=1+b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

Therefore $\begin{aligned} FG+JH+CD &= b+1+d \\ &= 1+\sqrt{5}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 10B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años