Question

Ang, Ben y Jasmin tienen cada uno $5$ bloques, de colores rojo, azul, amarillo, blanco y verde; y hay $5$ cajas vacías. Cada persona, de forma aleatoria e independiente de las otras dos, coloca uno de sus bloques en cada caja. La probabilidad de que al menos una caja reciba $3$ bloques todos del mismo color es $\frac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Ang, Ben, and Jasmin each have $5$ blocks, colored red, blue, yellow, white, and green; and there are $5$ empty boxes. Each of the people randomly and independently of the other two people places one of their blocks into each box. The probability that at least one box receives $3$ blocks all of the same color is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n ?$

$47$

$94$

$227$

$471$

$542$

Solución en video:

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Solución escrita:

Fija la colocación de Ang y etiqueta cada caja con el color que Ang puso en ella. Ben y Jasmin eligen cada uno una permutación de los cinco colores, así que hay $(5!)^2$ pares de colocaciones igualmente probables.

Para que un conjunto especificado de $k$ cajas reciba tres bloques del mismo color, tanto Ben como Jasmin deben coincidir con Ang en esas $k$ cajas. Esto puede ocurrir de $((5-k)!)^2$ maneras. Por inclusión-exclusión, el número de pares de colocaciones exitosos es

$\begin{aligned} &\binom51(4!)^2-\binom52(3!)^2 \\ &\quad {}+\binom53(2!)^2-\binom54(1!)^2 \\ &\quad {}+\binom55(0!)^2. \end{aligned}$

Esto es igual a

$2880-360+40-5+1=2556.$

Por lo tanto, la probabilidad es

$\frac{2556}{(5!)^2}=\frac{2556}{14400}=\frac{71}{400}.$

Por lo tanto $m+n=71+400=471$ .

Por lo tanto, la respuesta es D.

Fix Ang's placement and label each box by the color Ang put in it. Ben and Jasmin each choose a permutation of the five colors, so there are $(5!)^2$ equally likely pairs of placements.

For a specified set of $k$ boxes to receive three blocks of the same color, both Ben and Jasmin must match Ang in those $k$ boxes. This can happen in $((5-k)!)^2$ ways. By inclusion-exclusion, the number of successful placement pairs is

$\begin{aligned} &\binom51(4!)^2-\binom52(3!)^2 \\ &\quad {}+\binom53(2!)^2-\binom54(1!)^2 \\ &\quad {}+\binom55(0!)^2. \end{aligned}$

This equals

$2880-360+40-5+1=2556.$

Therefore the probability is

$\frac{2556}{(5!)^2}=\frac{2556}{14400}=\frac{71}{400}.$

Thus $m+n=71+400=471$ .

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Spring Problema 22

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 22 en otros años