Question

Los números reales $x$ y $y$ se eligen de forma independiente y uniforme al azar del intervalo $[0, 1].$ ¿Cuál de los siguientes números es el más cercano a la probabilidad de que $x,$ $y,$ y $1$ sean las longitudes de los lados de un triángulo obtuso?

Real numbers $x$ and $y$ are chosen independently and uniformly at random from the interval $[0, 1].$ Which of the following numbers is closest to the probability that $x,$ $y,$ and $1$ are the side lengths of an obtuse triangle?

$0.21$

$0.25$

$0.29$

$0.50$

$0.79$

Solución:

Las tres longitudes $x, y, 1$ forman un triángulo si y solo si $x + y > 1.$ Como $1$ es el lado más largo, ese triángulo es obtuso si y solo si $x^2 + y^2 < 1.$ Así, en el cuadrado unitario queremos la región dentro del cuarto de círculo $x^2 + y^2 = 1$ pero por encima de la recta $x + y = 1.$ Ese es el cuarto de disco al que se le quita el triángulo rectángulo bajo la cuerda: $\tfrac{\pi}{4} - \tfrac12 \approx 0.285.$ La opción más cercana es $0.29.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

The three lengths $x, y, 1$ make a triangle iff $x + y > 1.$ Since $1$ is the longest side, that triangle is obtuse iff $x^2 + y^2 < 1.$ So in the unit square we want the region inside the quarter circle $x^2 + y^2 = 1$ but above the line $x + y = 1.$ That's the quarter disk with the right triangle under the chord removed: $\tfrac{\pi}{4} - \tfrac12 \approx 0.285.$ The closest choice is $0.29.$ Therefore, the answer is C.

2018 AMC 10B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años