Question

Un círculo de radio $r$ está rodeado por tres círculos, cuyos radios son $1, 2,$ y $3,$ todos tangentes exteriormente al círculo interior y entre sí, como se muestra.

¿Cuánto vale $r$ ?

A circle of radius $r$ is surrounded by three circles, whose radii are $1, 2,$ and $3,$ all externally tangent to the inner circle and to each other, as shown.

What is $r?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{6}{23}$

$\dfrac{3}{11}$

$\dfrac{5}{17}$

$\dfrac{3}{10}$

Solución:

Los tres centros exteriores $A, B, C$ están a distancias mutuas $AB = 1 + 2 = 3,$ $AC = 1 + 3 = 4,$ y $BC = 2 + 3 = 5$ , un triángulo rectángulo $3$ - $4$ - $5$ . Ahora aplica el Teorema del Círculo de Descartes con curvaturas $1, \tfrac12, \tfrac13,$ y $\tfrac1r,$ todas mutuamente tangentes: $\frac1r = 1 + \tfrac12 + \tfrac13$ $+ 2\sqrt{\tfrac12 + \tfrac16 + \tfrac13}$ $= \tfrac{11}{6} + 2\sqrt{1}$ $= \tfrac{23}{6}.$ Invirtiendo, $r = \tfrac{6}{23}.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

The three outer centers $A, B, C$ are pairwise $AB = 1 + 2 = 3,$ $AC = 1 + 3 = 4,$ and $BC = 2 + 3 = 5$ apart, a $3$ - $4$ - $5$ right triangle. Now apply Descartes' Circle Theorem with curvatures $1, \tfrac12, \tfrac13,$ and $\tfrac1r,$ all mutually tangent: $\frac1r = 1 + \tfrac12 + \tfrac13$ $+ 2\sqrt{\tfrac12 + \tfrac16 + \tfrac13}$ $= \tfrac{11}{6} + 2\sqrt{1}$ $= \tfrac{23}{6}.$ Inverting, $r = \tfrac{6}{23}.$ Therefore, the answer is B.

2025 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años