Question

Dos granjeros acuerdan que los cerdos valen $\$300$ y que las cabras valen $\$210.$ Cuando un granjero le debe dinero al otro, paga la deuda con cerdos o cabras, recibiendo "cambio" en forma de cabras o cerdos según sea necesario. (Por ejemplo, una deuda de $\$390$ podría pagarse con dos cerdos, recibiendo una cabra de cambio.) ¿Cuál es el monto de la menor deuda positiva que puede saldarse de esta manera?

Two farmers agree that pigs are worth $\$300$ and that goats are worth $\$210.$ When one farmer owes the other money, he pays the debt in pigs or goats, with "change" received in the form of goats or pigs as necessary. (For example, a $\$390$ debt could be paid with two pigs, with one goat received in change.) What is the amount of the smallest positive debt that can be resolved in this way?

$\$5$

$\$10$

$\$30$

$\$90$

$\$210$

Solución:

Una deuda saldable es $D = 300p + 210g$ para enteros $p, g,$ donde un valor negativo significa cambio recibido. Como $D = 30(10p + 7g)$ y $\gcd(10, 7) = 1,$ el valor $10p + 7g$ puede ser cualquier entero, así que $D$ es cualquier múltiplo de $30.$

El menor positivo es $30,$ logrado con $30 = 300(-2) + 210(3)$ (entregar $3$ cabras, recibir $2$ cerdos).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A resolvable debt is $D = 300p + 210g$ for integers $p, g,$ where a negative value means change received. Since $D = 30(10p + 7g)$ and $\gcd(10, 7) = 1,$ the value $10p + 7g$ can be any integer, so $D$ is any multiple of $30.$

The smallest positive one is $30,$ achieved by $30 = 300(-2) + 210(3)$ (give $3$ goats, receive $2$ pigs).

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años