Question

Supón que $13$ cartas numeradas $1, 2, 3, \cdots, 13$ están dispuestas en una fila. La tarea es recogerlas en orden numérico creciente, trabajando repetidamente de izquierda a derecha. En el ejemplo de abajo, las cartas $1, 2, 3$ se recogen en la primera pasada, $4$ y $5$ en la segunda pasada, $6$ en la tercera pasada, $7, 8, 9, 10$ en la cuarta pasada, y $11, 12, 13$ en la quinta pasada. ¿Para cuántas de las $13!$ ordenaciones posibles de las cartas se recogerán las $13$ cartas en exactamente dos pasadas?

Suppose that $13$ cards numbered $1, 2, 3, \cdots, 13$ are arranged in a row. The task is to pick them up in numerically increasing order, working repeatedly from left to right. In the example below, cards $1, 2, 3$ are picked up on the first pass, $4$ and $5$ on the second pass, $6$ on the third pass, $7, 8, 9, 10$ on the fourth pass, and $11, 12, 13$ on the fifth pass. For how many of the $13!$ possible orderings of the cards will the $13$ cards be picked up in exactly two passes?

$4082$

$4095$

$4096$

$8178$

$8191$

Solución:

Sea $n$ el número de cartas recogidas en la primera pasada, donde $1 \leq n \leq 12.$

Si elegimos los espacios que ocupan las $n$ cartas, las posiciones de las cartas restantes quedan determinadas, ya que deben colocarse en orden.

Hay $\binom{13}{n}$ maneras de elegir dónde van las $n$ cartas, pero si las $n$ cartas se colocan justo al principio, entonces todas las cartas se recogerán en la primera pasada.

Por lo tanto, para un $n$ dado hay $\binom{13}{n} - 1$ maneras de disponer las cartas.

Sumando sobre $1\le n\le12$ , obtenemos $\begin{gathered} \sum_{n=1}^{12}\left(\binom{13}{n}-1\right) \\ = (2^{13}-2)-12 \\ = 8178. \end{gathered}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $n$ be the number of cards picked up on the first pass, where $1 \leq n \leq 12.$

If we choose the spaces that the $n$ cards occupy, the positions of the remaining cards are determined since they must be placed in order.

There are $\binom{13}{n}$ ways to choose where the $n$ cards go, but if the $n$ cards are placed at the very beginning, then all the cards will be picked up on the first pass.

Therefore, for a given $n$ there are $\binom{13}{n} - 1$ ways to arrange the cards.

Summing over $1\le n\le12$ , we get $\begin{gathered} \sum_{n=1}^{12}\left(\binom{13}{n}-1\right) \\ = (2^{13}-2)-12 \\ = 8178. \end{gathered}$

Thus, D is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años