Question

A cada vértice del pentágono convexo $ABCDE$ se le debe asignar un color. Hay $6$ colores para elegir, y los extremos de cada diagonal deben tener colores diferentes. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

Each vertex of convex pentagon $ABCDE$ is to be assigned a color. There are $6$ colors to choose from, and the ends of each diagonal must have different colors. How many different colorings are possible?

$2520$

$2880$

$3120$

$3250$

$3750$

Solución:

Nota que solo hay $3$ casos: todos los vértices son diferentes, hay un par de vértices adyacentes con el mismo color, o hay $2$ pares (cada par con un color diferente).

Caso $1:$ todos los vértices tienen colores diferentes.

Este caso simplemente nos da $6! = 720$ coloraciones diferentes.

Caso $2:$ un par de vértices adyacentes tiene el mismo color.

Hay $\dfrac{6!}{2} = 360$ formas de elegir los colores para este caso. Luego hay $5$ opciones para el par de vértices.

Esto nos da un total de $360 \cdot 5 = 1800$ coloraciones para este caso.

Caso $3:$ dos pares de vértices adyacentes tienen el mismo color.

Hay $5$ opciones para el vértice que no está en un par. Luego hay $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ opciones para los colores. Entonces hay un total de $120 \cdot 5 = 600$ coloraciones para este caso.

Hay un total de $720 + 1800 + 600 = 3120$ coloraciones para todos los casos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that there are only $3$ cases: all the vertices are different, there is one pair of adjacent vertices with the same colors, or there are $2$ pairs (each pair has a different color).

Case $1:$ all vertices have different colors

This case just gives us $6! = 720$ different colorings.

Case $2:$ one pair of adjacent vertices has the same color

There are $\dfrac{6!}{2} = 360$ ways to choose the colors for this case. There are then $5$ options for the pair of vertices.

This gives us a total of $360 \cdot 5 = 1800$ colorings for this case.

Case $3:$ two pairs of adjacent vertices have the same color

There are $5$ choices for the vertex that is not in a pair. There are then $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ choices for the colors. There are then a total of $120 \cdot 5 = 600$ colorings for this case.

There are a total of $720 + 1800 + 600 = 3120$ colorings for all the cases.

Thus, C is the correct answer.

2011 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años