Question

A cada vértice del pentágono convexo

ABCDE

se le debe asignar un color. Hay

6

colores para elegir, y los extremos de cada diagonal deben tener colores diferentes. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

Each vertex of convex pentagon

ABCDE

is to be assigned a color. There are

6

colors to choose from, and the ends of each diagonal must have different colors. How many different colorings are possible?

2520

2880

3120

3250

3750

Respuesta: C

Conceptos:teoría de grafos análisis por casos permutaciones

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Divide en casos según si se usan

5

,

4

o

3

colores.

Case on whether

5

,

4

, or

3

colors are used

Pista grande:

Los colores repetidos solo pueden aparecer en vértices adyacentes.

Repeated colors can occur only on adjacent vertices

Solución:

Nota que solo hay

3

casos: todos los vértices son diferentes, hay un par de vértices adyacentes con el mismo color, o hay

2

pares (cada par con un color diferente).

Caso $1:$ todos los vértices tienen colores diferentes.

Este caso simplemente nos da

6! = 720

coloraciones diferentes.

Caso $2:$ un par de vértices adyacentes tiene el mismo color.

Hay

\dfrac{6!}{2} = 360

formas de elegir los colores para este caso. Luego hay

5

opciones para el par de vértices.

Esto nos da un total de

360 \cdot 5 = 1800

coloraciones para este caso.

Caso $3:$ dos pares de vértices adyacentes tienen el mismo color.

Hay

5

opciones para el vértice que no está en un par. Luego hay

6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

opciones para los colores. Entonces hay un total de

120 \cdot 5 = 600

coloraciones para este caso.

Hay un total de

720 + 1800 + 600 = 3120

coloraciones en todos los casos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that there are only

3

cases: all the vertices are different, there is one pair of adjacent vertices with the same colors, or there are

2

pairs (each pair has a different color).

Case

1:

all vertices have different colors

This case just gives us

6! = 720

different colorings.

Case

2:

one pair of adjacent vertices has the same color

There are

\dfrac{6!}{2} = 360

ways to choose the colors for this case. There are then

5

options for the pair of vertices.

This gives us a total of

360 \cdot 5 = 1800

colorings for this case.

Case

3:

two pairs of adjacent vertices have the same color

There are

5

choices for the vertex that is not in a pair. There are then

6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

choices for the colors. There are then a total of

120 \cdot 5 = 600

colorings for this case.

There are a total of

720 + 1800 + 600 = 3120

colorings for all the cases.

Thus, C is the correct answer.

2011 AMC 10A Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años