Question

Una mañana, cada miembro de la familia de Angela bebió una mezcla de $8$ onzas de café con leche. Las cantidades de café y leche variaban de taza en taza, pero nunca eran cero. Angela bebió un cuarto de la cantidad total de leche y un sexto de la cantidad total de café. ¿Cuántas personas hay en la familia?

One morning each member of Angela's family drank an $8$ -ounce mixture of coffee with milk. The amounts of coffee and milk varied from cup to cup, but were never zero. Angela drank a quarter of the total amount of milk and a sixth of the total amount of coffee. How many people are in the family?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Solución:

Supongamos que hay $n$ personas, que beben $8n$ onzas en total, repartidas en leche $M$ y café $C.$ Angela bebió una taza, así que $\tfrac14 M + \tfrac16 C = \tfrac1n (M + C).$

El lado izquierdo es un promedio ponderado de $\tfrac14$ y $\tfrac16,$ así que $\tfrac1n$ está estrictamente entre $\tfrac16$ y $\tfrac14.$ Eso obliga a $4 \lt n \lt 6,$ de modo que $n = 5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let there be $n$ people, drinking $8n$ ounces total, split into milk $M$ and coffee $C.$ Angela drank one cup, so $\tfrac14 M + \tfrac16 C = \tfrac1n (M + C).$

The left side is a weighted average of $\tfrac14$ and $\tfrac16,$ so $\tfrac1n$ lies strictly between $\tfrac16$ and $\tfrac14.$ That forces $4 \lt n \lt 6,$ so $n = 5.$

Thus, the correct answer is C.

2000 AMC 10 Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años